Предикат в логике: значение, формулы и философский смысл

Предикат в формальной логике — выражение, которое при подстановке подходящего объекта или нескольких объектов образует высказывание, способное быть истинным или ложным. Например, «является простым числом» можно применить к числу 7: получится истинное высказывание. Для числа 8 оно будет ложным. В философии понятие важно потому, что позволяет точно различать объект, приписываемое ему свойство и утверждение о нём.

Что именно называют предикатом?

В логике первого порядка предикат обычно записывают буквой P, а аргумент — переменной x: P(x). Пока значение x не задано и переменная не связана квантором, эта запись представляет открытую формулу, а не завершённое утверждение с определённым истинностным значением. После подстановки имени подходящего объекта мы можем получить высказывание P(a). Его истинность зависит от того, какое свойство обозначает P и каков объект a.

В традиционном разборе суждения предикатом называют то, что утверждается о субъекте: в фразе «Роза красная» слово «красная» выступает предикативной частью. Современная логика расширяет эту схему: предикат может обозначать не только свойство одного предмета, но и отношение двух или большего числа предметов. Поэтому одного школьного деления предложения на подлежащее и сказуемое здесь недостаточно.

Чем одноместный предикат отличается от двухместного?

Одноместный предикат задаёт свойство: Круглый(x). Двухместный — отношение: Старше(x, y). Высказывание «Анна старше Бориса» требует двух аргументов, а «Анна — студентка» — одного. Если поменять местами аргументы отношения «старше», можно изменить истинностное значение: порядок здесь существенен.

Количество мест называют арностью предиката. Его нельзя путать с количеством слов в обычной русской фразе. В предложении могут быть обстоятельства, определения и грамматические конструкции, которые не совпадают с логическими аргументами выбранного формального анализа.

Как предикат связан с кванторами?

Кванторы уточняют, для каких объектов из заданной области выполняется предикат. Формула ∀x (Человек(x) → Смертен(x)) выражает мысль «все люди смертны». Формула ∃x (Человек(x) ∧ Учёный(x)) означает «существует хотя бы один человек, который является учёным». Здесь знаки ∀ и ∃ не являются предикатами: они связывают переменные и задают характер утверждения.

Возьмём корректный вывод из двух посылок: «Все сосны — деревья» и «Это растение — сосна». Тогда «Это растение — дерево». В записи: ∀x (Сосна(x) → Дерево(x)); Сосна(a); следовательно, Дерево(a). Вывод следует из посылок по форме, даже если в конкретной истории ошибочно назвать какое-либо растение сосной. Валидность рассуждения не равна фактической истинности каждой посылки.

Не является ли предикат просто сказуемым?

Нет. В грамматике сказуемое — член предложения, связанный с синтаксическим строением языка. Логический предикат — часть формальной модели утверждения. Иногда они приблизительно совпадают, но логическая запись может иначе расставить границы. Например, «Маша подарила Пете книгу» можно моделировать трёхместным отношением Подарил(Маша, Петя, Книга). Грамматическое сказуемое «подарила» само по себе не объясняет, какие логические позиции необходимо заполнить.

В чём философский смысл различия между предметом и свойством?

Если мы утверждаем «яблоко красное», мы не отождествляем яблоко с краснотой. Суждение приписывает свойство конкретному объекту. Это простое различение необходимо для вопросов о том, что существует, как классифицируются вещи и когда два высказывания противоречат друг другу. Философы также обсуждают, чему соответствуют предикаты: универсалиям, понятиям, языковым правилам или иным структурам. Сам логический символ не решает этот метафизический спор.

Важное уточнение: один предикат может иметь несколько интерпретаций в разных моделях. Например, запись R(x, y) сама не говорит, означает ли R «уважает», «выше» или «равно». Значение задаётся интерпретацией, а истинность проверяется относительно неё.

Как распознать типичную логическую ошибку?

Не следует без проверки превращать отношение в свойство или менять направление отношения. Из утверждения «Али знает Дану» нельзя вывести «Дана знает Али»: предикат «знает» в общем случае не симметричен. Для такого вывода нужна дополнительная посылка, а не только сходство слов. При анализе аргумента полезно последовательно установить:

• какие объекты рассматриваются и какова область рассуждения;
• какое свойство или отношение обозначает предикат;
• сколько аргументов он требует и в каком порядке;
• какие кванторы и посылки действительно присутствуют.

Итог: предикат — логический способ выразить свойство предмета или отношение между предметами. Его отличают от грамматического сказуемого, от имени объекта и от квантора; правильный вывод зависит от формы всего рассуждения, а не от одного знакомого слова.

Источники для проверки

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Gottlob Frege — о предикации, аргументах и логике кванторов.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Generalized Quantifiers — о различии предикатов и квантификации.