«Кропки» 4×4: белые и чёрные точки между числами

№ 57 · логика: чёрная и белая точки

На листе нарисовано всего шестнадцать клеток, но над ними действуют сразу три ограничения. В Кропки важно не только расставить цифры 1–4: белые и чёрные точки говорят, какие соседи подходят друг другу. Разберём учебное поле, которое можно решить без приложения.

Белая точка и чёрная: что они означают

«Кропки» — числовая игра, в которой рядом стоящие клетки могут быть связаны специальными отметками. Белая точка означает, что соседние числа отличаются ровно на 1: например, 2 и 3. Чёрная точка означает, что одно число вдвое больше другого: 1 и 2 либо 2 и 4 на маленьком поле.

В традиционных вариантах Кропки используются правила судоку. Здесь задача уменьшена до квадрата 4×4: в каждой строке, каждом столбце и каждом блоке 2×2 должны встретиться цифры 1, 2, 3, 4 без повторов.

Исходное поле 4×4

Числа уже вписаны в четырёх клетках, остальные оставлены пустыми. Сначала скопируйте квадрат, затем отметьте точки между перечисленными парами клеток. Например, запись (1,3)—(1,4) говорит о двух соседях справа в первой строке.

        1  2  │ 3  4
      ┌───────┼──────┐
  1   │ ·  ·  │ ·  · │
  2   │ ·  3  │ ·  · │
      ├───────┼──────┤
  3   │ 2  ·  │ 3  · │
  4   │ ·  ·  │ ·  4 │
      └───────┴──────┘

Шесть точек-подсказок

Разберём несколько ходов, не подглядывая в ответ

В клетке (2,2) уже стоит 3. Белая точка ведёт вниз к (3,2), значит, там может быть только 2 или 4. Но в третьей строке уже есть 2 в первом столбце. Поэтому (3,2) = 4.

Рядом справа находится число 3 в (3,3) — белая точка подтверждена: 4 и 3 отличаются на единицу. На первом столбце в (3,1) написано 2, и к (2,1) ведёт чёрная точка. Значит, сверху можно поставить 1 или 4. Дальше помогает правило строки и блока 2×2.

Если при проверке какое-то число подходит точке, но нарушает уникальность строки или блока, оно всё равно неверно. Именно сочетание правил делает задачу логической, а не обычным угадыванием.

Готовый ответ

        C1 C2 │ C3 C4
  R1     1  2 │  4  3
  R2     4  3 │  1  2
        ──────┼──────
  R3     2  4 │  3  1
  R4     3  1 │  2  4

Проверьте две чёрные точки: 2 и 4 в первой строке связаны отношением 1:2; числа 4 и 2 в первом столбце — тоже. Все четыре белые связи дают разность ровно 1. В каждом из четырёх блоков 2×2 встречаются цифры 1–4. Для представленного набора заданных чисел и точек найден единственный ответ.

Как организовать игру в классе

Для небольшой команды удобно дать каждому одинаковую таблицу и отмечать варианты карандашом. Первый участник объясняет, почему определённое значение возможно, второй ищет противоречие. Засчитывайте только правильное обоснование: «мне так кажется» не считается решением.

Частые ошибки

• Принимают чёрную точку за разность 2. Это неверно: важна пропорция в два раза, а не вычитание.
• Думают, что белая точка всегда означает пару 1 и 2. Подойдут также 2–3 и 3–4.
• Считают, что отсутствие точки запрещает соседние числа. В нашей версии точки показаны не полностью.
• Смотрят только на соседей и забывают про блок 2×2.

Могут ли 1 и 2 подходить сразу для двух цветов?

Да. Они отличаются на 1 и одновременно образуют отношение 1:2. Если составитель применяет правило «все точки даны», это отдельно поясняют. В нашем поле оба типа допустимы по своему условию.