«Одним росчерком»: 5 фигур, которые нужно нарисовать без отрыва карандаша

Игра № 50 · задача на один непрерывный путь

Нарисовать домик, не отрывая карандаш от листа и не проводя одну и ту же линию дважды, кажется простым делом. Но некоторые фигуры поддаются сразу, а другие невозможно нарисовать при таких условиях. Игра «Одним росчерком» помогает не только потренировать внимание, но и открыть красивое математическое правило про точки, в которых встречаются линии.

Договоримся, как обозначать вершины и линии

Сначала изобразите несколько точек с буквами A, B, C, D, E, а затем соедините их в указанном порядке. Каждая пара букв, например A—B, означает один отрезок между двумя точками. Все линии считаются равноправными: если пересечение выглядит как точка соединения, его нужно отдельно обозначить. Чтобы не спорить, используйте задания по спискам рёбер ниже — они однозначны.

Начальная и конечная точки могут совпадать. Это значит, что вы вернулись туда, откуда начали, но не повторили ни одной линии. Если ошиблись, не пытайтесь замаскировать лишний штрих: возьмите рядом свободное место и начните новую попытку.

Задание 1. Простой треугольник

Поставьте три точки: A слева внизу, B справа внизу, C сверху. Соедините их рёбрами A—B, B—C, C—A. Попробуйте пройти весь контур одним непрерывным движением, не заходя внутрь.

       C
      / \
     /   \
    A-----B

Рёбра: A—B, B—C, C—A

Подсказка: старт здесь можно выбрать в любой вершине. Треугольник замкнут, в каждой точке сходятся ровно по две линии. После обхода вы вернётесь к началу.

Задание 2. Домик с крышей

Нарисуйте квадрат A—B—C—D—A, где A — нижний левый угол, B — нижний правый, C — верхний правый, D — верхний левый. Над квадратом поставьте точку E (конёк крыши) и соедините D—E и E—C. Это знакомый «домик», но без диагоналей внутри стен.

       E
      / \
     D---C
     |   |
     |   |
     A---B

Рёбра: A—B, B—C, C—D, D—A,
       D—E, E—C

Попробуйте начать у одного из верхних углов квадрата. Здесь не нужно обводить весь дом по кругу: самый удобный путь может сначала спуститься к основанию, а потом подняться на крышу.

Задание 3. Квадрат с одной диагональю

Теперь возьмите квадрат A—B—C—D—A и добавьте одну диагональ A—C. В этой фигуре всего пять отрезков. Где выгоднее начать, чтобы завершить путь, не повторив сторону?

  D------C
  |    / |
  |  /   |
  |/     |
  A------B

Рёбра: A—B, B—C, C—D, D—A, A—C

Диагональ соединяет два противоположных угла; это не повод считать её двумя отдельными линиями. Пересечений с другими рёбрами внутри квадрата нет. Поэтому задача получается чистой и без спорных «проходов под мостом».

Задание 4. Два треугольника с общей точкой

Сделайте два маленьких треугольника, которые касаются только в одной вершине A. Первый имеет вершины A, B, C, второй — A, D, E. Отрезки для каждого треугольника остаются отдельными; четыре внешние вершины не соединяются друг с другом.

      B          D
      |\        /|
      | \      / |
      C--A------E  (условный рисунок)

Точный список рёбер:
A—B, B—C, C—A;
A—D, D—E, E—A.

Условный рисунок служит только подсказкой расположения. Ориентируйтесь на точный список отрезков: он задаёт два треугольника с общей точкой A, даже если в тетради вы нарисуете их один над другим. Посчитайте, сколько линий подходит к A и можно ли начать и закончить в этой точке.

Задание 5. Квадрат с обеими диагоналями — ловушка

Нарисуйте четыре стороны квадрата A—B—C—D—A и проведите обе диагонали A—C и B—D. В центре диагонали пересекутся. Считайте это пересечение отдельной точкой O: тогда диагонали состоят из отрезков A—O, O—C, B—O и O—D. Задание — обвести каждое ребро один раз, не отрывая карандаш.

  D--------C
  | \    / |
  |   O    |
  | /    \ |
  A--------B

Стороны квадрата + четыре
отрезка диагоналей через O.

Здесь есть подвох: сколько бы вы ни искали, пройти каждую линию ровно один раз не удастся. Это не недостаток ловкости. У задачи нет решения из-за количества вершин с нечётным числом выходящих линий.

Ответы ко всем пяти задачам

В таблице стрелка означает следующий отрезок, а не прыжок по воздуху. Для домика путь стартует в D и завершается в C. В квадрате с одной диагональю начало A, конец C. Это не случайный выбор: именно эти вершины имеют нечётное число рёбер.

Математический секрет: чётные и нечётные вершины

Посчитайте, сколько отрезков выходит из каждой точки. Это число называют степенью вершины. Если у связной фигуры все вершины имеют чётную степень, её можно нарисовать одним замкнутым путём. Если ровно две вершины нечётные — открытый путь возможен, но он должен начаться в одной нечётной вершине и закончиться в другой.

Если нечётных вершин больше двух, задачу по нашим правилам решить нельзя. В квадрате с двумя диагоналями четыре угла имеют по три примыкающих отрезка, а центральная точка O — четыре. Значит нечётных углов четыре, и один непрерывный проход через все рёбра без повторов невозможен.

Как провести соревнование в классе или дома

1. Каждому дайте одинаковый список из пяти фигур без ответов.
2. На попытку отведите, например, две минуты, затем предложите обосновать невозможные случаи.
3. За правильную траекторию давайте 2 балла, за правильно доказанную невозможность — тоже 2.
4. Если игрок случайно повторил линию, он может попробовать снова, но балл за этот рисунок получает только после верного прохода.
5. В финале попросите придумать шестую фигуру с ровно двумя нечётными вершинами и обменяться заданиями.

Частые вопросы игроков

• Можно ли вернуться в точку, где уже был? Да. Запрещено повторять отрезок, а не вершину.
• Можно ли повернуть фигуру? Конечно. Поворот листа не меняет соединения между вершинами.
• Что делать с пересечением диагоналей? В этой подборке пересечение в задаче № 5 отмечено отдельной вершиной O. Благодаря этому правило сформулировано однозначно.
• Можно пройти по линии второй раз, если не видно? Нет. Повторение любого ребра нарушает условие, даже если ручка рисует точно поверх старой черты.

Почему домик можно обвести, а квадрат с двумя диагоналями нельзя?

У домика только два нечётных угла — D и C. У квадрата с двумя диагоналями нечётны все четыре угла. Это и есть математическая причина различия.

Подходит ли игра для детей младшего возраста?

Да. Начните с треугольника и домика, а правило чётных вершин объясните после нескольких собственных попыток. Для старших школьников добавьте задания на доказательство невозможности.

Итог: в игре «Одним росчерком» важно сначала понять устройство линий. Подсчитайте нечётные вершины, определите старт и финиш, а затем проведите карандаш без повторения отрезков. В подборке три вида возможных маршрутов и одна принципиально невозможная фигура.