Аннуитетный платёж по кредиту с известной ставкой: примеры и объяснения для 11 класса

Практическая карточка. Практикум финансовой математики для 11 класса. Рассчитываем одинаковый ежемесячный аннуитетный платёж по известной номинальной годовой ставке и сроку. Все кредиты в заданиях вымышленные, без комиссий и страховки; платежи в конце месяца, ставка неизменна. Это математическая модель, не предложение банка.

Схема расчёта и единицы

Обозначим P — первоначальную сумму кредита (тенге), i — месячную ставку долей единицы, n — число ежемесячных платежей. Если задана номинальная годовая ставка R процентов с начислением по месяцам, то i=R/(12·100). Платёж A = P·i / [1−(1+i)⁻ⁿ] при i>0, а при i=0: A=P/n. Нельзя подставлять процент 12 вместо доли 0,01: при R=12% месячная ставка равна 1%=0,01.

Полученное A измеряется в тенге в месяц. При ровном платеже без комиссий ориентировочная сумма всех выплат nA, переплата по процентам nA−P. В реальном графике платёж округляют до тиына, а последний обычно корректируют на копейки/тиыны, чтобы долг был погашен точно.

Исходные данные одного модельного кредита

Проверка: проценты первого месяца = 200 000·0,01 = 2 000 ₸, остальная часть платежа уменьшает долг. Платёж A рассчитан формулой аннуитета; просто поделить 200 000 на 12 недостаточно, потому что в каждом месяце ещё начисляются проценты.

Расчётные задания по таблице

Найдите в каждом пункте: (а) месячную ставку i, (б) аннуитетный платёж A до 0,01 ₸, (в) общую процентную переплату nA−P без комиссий. Промежуточные расчёты не округляйте.

Самостоятельная проверка понимания

15. Почему ставка 18% годовых при помесячном начислении не означает i=18% в месяц?
16. При нулевой процентной ставке сумма 80 000 ₸ погашается 8 одинаковыми платежами. Почему формулу с i в знаменателе нельзя использовать напрямую?
17. Для P=120 000 ₸, R=12% и n=12 вычислите отдельно проценты первого месяца и часть первого платежа, которая погашает основной долг.

Полные ответы с вычислительными проверками

Например, в строке 1 подстановка P=120 000, i=0,01, n=12 даёт A=10 661,85 ₸. Умножение неокруглённого значения A на 12 и вычитание 120 000 даёт переплату 7 942,26 ₸. Если умножать уже округлённый платёж, возможна разница в несколько тиынов.

15. 18% — номинальная ставка за 12 месяцев. При помесячном начислении i=0,18/12=0,015, то есть 1,5% в месяц.
16. При i=0 первоначальная дробь имеет неопределённый вид 0/0; берём предел или сразу используем A=P/n=80 000/8=10 000 ₸ в месяц. Переплата равна нулю.
17. Начисление за первый месяц 120 000·0,01=1 200 ₸; погашение тела = 9 461,85 ₸. Остаток уменьшается на эту сумму, а не на весь платёж.

Как проверить ответ самостоятельно

• Убедитесь, что n указано в месяцах, а i — доля за месяц. Срок в годах сначала переводят в месяцы.
• Проверьте порядок величин: при положительной ставке месячный аннуитетный платёж выше P/n, но переплата не может быть отрицательной.
• Если конечный график требует ровно нулевого остатка, пересчитайте последний платёж из остатка и процентов последнего месяца. Округление до 0,01 ₸ может изменить итог на несколько тиынов.
• Не смешивайте номинальную ставку с эффективной годовой и не добавляйте комиссии, которых в условиях нет.

Критерий: для заданий 1–14 по 3 балла (ставка, платёж, переплата), для 15–17 по 2 балла. Допускается расхождение до 0,02 ₸ из-за корректного округления. Все величины учебные и не являются условиями реального кредитного продукта.