Математический практикум для 3 класса: Построй две разные фигуры одинаковой площади

Клетчатая модель

Для заданий с клетками считайте одну клетку между соседними линиями за 1 квадратную единицу. При открытом построении верным считается любой вариант, который выполняет перечисленные критерии.

Карточка 1. Два прямоугольника одной площади

1. Построй два разных прямоугольника площадью 12 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.
2. Построй два разных прямоугольника площадью 8 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.
3. Построй два разных прямоугольника площадью 16 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.
4. Построй два разных прямоугольника площадью 18 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.
5. Построй два разных прямоугольника площадью 20 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.
6. Построй два разных прямоугольника площадью 24 клеток. Их размеры должны отличаться. Запиши один подходящий вариант размеров для каждой фигуры.

Карточка 2. Равная площадь — разные стороны и периметры

7. Сравни две фигуры: прямоугольник 3 × 4 и прямоугольник 2 × 6. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.
8. Сравни две фигуры: прямоугольник 2 × 5 и прямоугольник 1 × 10. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.
9. Сравни две фигуры: прямоугольник 4 × 4 и прямоугольник 2 × 8. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.
10. Сравни две фигуры: прямоугольник 3 × 5 и прямоугольник 1 × 15. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.
11. Сравни две фигуры: прямоугольник 4 × 6 и прямоугольник 3 × 8. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.
12. Сравни две фигуры: прямоугольник 2 × 7 и прямоугольник 1 × 14. Докажи вычислением, что площади одинаковы, и сравни их периметры.

Карточка 3. Построй другую форму из того же числа клеток

13. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 6 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.
14. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 7 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.
15. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 8 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.
16. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 9 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.
17. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 10 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.
18. На клетчатой сетке построй две разные связные фигуры из 12 единичных клеток. Первая пусть будет прямоугольником, вторая — не прямоугольником. Клетки должны соприкасаться сторонами.

Карточка 4. Найди ошибку в рассуждении

19. Ученик сказал: «У фигур одинаковый периметр, значит и площадь одинаковая». Верно ли это всегда? Приведи контрпример из прямоугольников.
20. Ученик сравнил прямоугольники 3 × 4 и 2 × 6 и решил, что второй больше, потому что сторона 6 длиннее. Найди ошибку.
21. Для фигуры из 8 клеток ученик посчитал 9, потому что одну общую клетку двух рядов учёл дважды. Как проверять?
22. У прямоугольников 4 × 5 и 2 × 10 ученик записал площади 18 и 18, сложив стороны. Исправь решение.
23. Ученик построил две одинаковые фигуры площадью 12 и посчитал задание выполненным. Чего не хватает?
24. Одна фигура состоит из 10 клеток, другая из 9 клеток и половинки клетки. Можно ли считать их площади одинаковыми?

Карточка 5. Набор данных о фигурах

25. Какие фигуры в таблице имеют одинаковую площадь 12 клеток?
26. Какие фигуры имеют площадь 16 клеток?
27. У пары P и Q сравни периметры. У какой фигуры он больше?
28. Найди фигуру с площадью 15 клеток и назови её размеры.
29. Выбери две фигуры одинаковой площади, но с разными периметрами, и запиши разность периметров.
30. Почему строки R и S доказывают, что одинаковая площадь не означает одинаковый периметр?

Как работать с карточкой: площадь проверяйте вторым способом: сначала умножением сторон для прямоугольника, затем пересчётом клеток.

Ответы и пояснения

1. Пример: 3 × 4 и 2 × 6; обе площади равны 12. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 12 и размеры фигур различаются.
2. Пример: 2 × 4 и 1 × 8; обе площади равны 8. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 8 и размеры фигур различаются.
3. Пример: 4 × 4 и 2 × 8; обе площади равны 16. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 16 и размеры фигур различаются.
4. Пример: 3 × 6 и 2 × 9; обе площади равны 18. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 18 и размеры фигур различаются.
5. Пример: 4 × 5 и 2 × 10; обе площади равны 20. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 20 и размеры фигур различаются.
6. Пример: 4 × 6 и 3 × 8; обе площади равны 24. Подойдут и другие пары целых сторон, если произведение равно 24 и размеры фигур различаются.
7. Площади равны: 3 × 4 = 12, 2 × 6 = 12. Периметры: 14 и 16 шагов; они отличаются на 2 шаг(а).
8. Площади равны: 2 × 5 = 10, 1 × 10 = 10. Периметры: 14 и 22 шагов; они отличаются на 8 шаг(а).
9. Площади равны: 4 × 4 = 16, 2 × 8 = 16. Периметры: 16 и 20 шагов; они отличаются на 4 шаг(а).
10. Площади равны: 3 × 5 = 15, 1 × 15 = 15. Периметры: 16 и 32 шагов; они отличаются на 16 шаг(а).
11. Площади равны: 4 × 6 = 24, 3 × 8 = 24. Периметры: 20 и 22 шагов; они отличаются на 2 шаг(а).
12. Площади равны: 2 × 7 = 14, 1 × 14 = 14. Периметры: 18 и 30 шагов; они отличаются на 12 шаг(а).
13. Критерий: в каждой фигуре ровно 6 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 6 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 6=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
14. Критерий: в каждой фигуре ровно 7 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 7 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 7=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
15. Критерий: в каждой фигуре ровно 8 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 8 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 8=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
16. Критерий: в каждой фигуре ровно 9 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 9 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 9=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
17. Критерий: в каждой фигуре ровно 10 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 10 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 10=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
18. Критерий: в каждой фигуре ровно 12 клеток; клетки соединены сторонами; фигуры по форме различаются; вторая имеет хотя бы один «ступенчатый» излом. Например, можно взять прямоугольник из 12 клеток, если возможна подходящая раскладка, и переставить одну крайнюю клетку к другой стороне, сохранив связность. Для 12=7 допустим прямоугольный ряд 1×7 и ступенчатая связная фигура из 7 клеток.
19. Нет. Например, 1 × 5 имеет периметр 12 и площадь 5, а 2 × 4 тоже периметр 12, но площадь 8. Одинаковый периметр не гарантирует одинаковую площадь.
20. Нужно сравнивать площади: 3 × 4 = 12 и 2 × 6 = 12. Площади равны; одна длинная сторона сама по себе ничего не доказывает.
21. Считать каждую единичную клетку один раз, удобно по рядам. Если ряды содержат 5 и 3 неперекрывающиеся клетки, площадь 5 + 3 = 8.
22. Площадь находится умножением: 4 × 5 = 20, 2 × 10 = 20. Сумма сторон используется при вычислении периметра.
23. По условию фигуры должны быть разными по форме. Одинаковая копия не подходит, даже если площадь верна.
24. Нет. Вторая площадь 9,5 клетки, первая — 10. Они отличаются на 0,5 клетки. В этой карточке лучше строить из целых единичных клеток.
25. P и Q.
26. R и S.
27. P: 14, Q: 16. У Q периметр больше на 2 шага.
28. T, размеры 3 × 5.
29. Например, P и Q: 16 − 14 = 2. Также R и S: 20 − 16 = 4.
30. Обе площади равны 16, но периметры разные: 16 и 20. Следовательно, равенство площадей не определяет периметр.