Задания на тему «Почему одинаковый периметр не означает одинаковую площадь»: математика, 3 класс

Контрпример на клетчатой модели

Базовый смысл

1. Вычисли P и S прямоугольника 2 × 8 см.
2. Вычисли P и S квадрата 5 × 5 см.
3. Объясни одним предложением, почему задания 1–2 опровергают утверждение «одинаковый периметр — одинаковая площадь».
4. Вычисли P и S прямоугольника 1 × 9 см.
5. Вычисли P и S прямоугольника 4 × 6 см.
6. Сравни результаты заданий 4–5 и сформулируй вывод.
7. Что измеряет периметр: границу или внутреннюю часть? Что измеряет площадь?
8. Найди ошибку в рассуждении: «У двух фигур по 20 см по краю, значит внутри у них одинаково места».

Проверяем утверждения

9. Проверь утверждение: 3 × 7 и 5 × 5 имеют одинаковый P = 20 см.
10. Сравни их площади.
11. Проверь утверждение: 3 × 9 и 6 × 6 имеют одинаковый P = 24 см.
12. Сравни их площади.
13. Верно ли: если два прямоугольника имеют одинаковую площадь, то у них обязательно одинаковый периметр? Проверь на 2 × 12 и 4 × 6.
14. Приведи пример двух прямоугольников с одинаковой площадью 24 см², но разными периметрами.
15. Какой вывод можно сделать: периметр однозначно определяет площадь или нет?
16. Какой вывод можно сделать: площадь однозначно определяет периметр или нет?

Таблица при одном периметре

17. По таблице объясни, почему одного значения P = 20 см недостаточно, чтобы назвать площадь.
18. На сколько см² отличаются минимальная и максимальная площади в таблице?
19. Какая фигура из таблицы имеет стороны, наиболее близкие по длине?
20. Сформулируй наблюдение о площади этой фигуры по сравнению с остальными.
21. Если известен только периметр прямоугольника 24 см, можно ли сразу сказать, что площадь равна 36 см²? Объясни.
22. Подбери контрпример к утверждению из задания 21.
23. Ученик сказал: «Чтобы увеличить площадь при том же периметре, нужно сделать стороны более равными». Проверь это на переходе 2 × 8 → 3 × 7 → 4 × 6 → 5 × 5.

Аргументация и перенос знания

24. Для клумб 2 × 8 м и 5 × 5 м посчитай длину одинакового ограждения и разность площадей.
25. Для рамок 3 × 9 см и 6 × 6 см посчитай общий периметр и разность площадей.
26. Повышенное: придумай свой контрпример к фразе «одинаковый периметр означает одинаковую площадь». Критерий: две разные фигуры, одинаковый P, разные S.
27. Повышенное: придумай контрпример к обратной фразе «одинаковая площадь означает одинаковый периметр». Критерий: одинаковая S, разные P.
28. Самопроверка: у прямоугольников 4 × 10 и 7 × 7 равны ли периметры? Равны ли площади?
29. Самопроверка: закончи фразу: «Чтобы сравнить площади при равном периметре, недостаточно знать только P; нужно знать …»

Ответы и пояснения

• 1) P=20 см, S=16 см². 2) P=20 см, S=25 см². 3) Периметры равны, а площади 16 и 25 различаются. 4) P=20, S=9. 5) P=20, S=24. 6) Один P=20 не задаёт одну площадь: 9 и 24 различаются. 7) Периметр — границу, площадь — внутреннюю часть. 8) Ошибка: длина границы не определяет, как эта граница распределена между сторонами.
• 9) Да: 2×(3+7)=20 и 2×(5+5)=20. 10) 21 и 25 см². 11) Да: оба P=24. 12) 27 и 36 см². 13) Нет: S обоих = 24 см², но P у 2×12 равен 28 см, у 4×6 — 20 см. 14) Например, 2×12 и 4×6. 15) Нет, не определяет. 16) Нет, не определяет.
• 17) При P=20 в таблице есть площади 9, 16, 21, 24, 25. 18) 25−9=16 см². 19) 5×5. 20) У неё наибольшая площадь в этой группе. 21) Нет: P=24 имеет варианты 1×11, 2×10, 3×9, 4×8, 5×7, 6×6 с разными площадями. 22) Например, 3×9: P=24, S=27, а не 36. 23) Площади: 16, 21, 24, 25 — растут по мере сближения сторон.
• 24) Обе ограды по 20 м; площади 16 и 25 м², разность 9 м². 25) P=24 см; площади 27 и 36, разность 9 см². 26) Например, 2×8 и 5×5: P=20, S=16 и 25. 27) Например, 2×12 и 4×6: S=24, P=28 и 20. 28) P обоих 28 см; площади 40 и 49 см², не равны. 29) …длины сторон (или другую информацию, позволяющую найти площадь).

Как работать с карточкой

В объяснительных заданиях засчитывайте ответ, если ученик различает границу и внутреннюю часть и подтверждает мысль корректными числами. Сильный ответ содержит вычисления P и S для двух фигур.