Практикум по теме «Как посчитать варианты без повторов» для 3 класса

Набор для тренировки

Код комбинации записываем как «цвет футболки + цвет кепки».

Составляем список без повторов

1. Сколько разных комбинаций «футболка + кепка» можно составить?
2. Запиши полный список комбинаций в системном порядке.
3. В списке: красная+белая, красная+чёрная, синяя+белая, синяя+чёрная, зелёная+белая, красная+белая. Какая комбинация повторена?
4. Какой комбинации не хватает в списке задания 3, если нужен полный набор?
5. Сколько уникальных комбинаций в списке задания 3?
6. Почему повтор одной строки нельзя считать новым вариантом?

Выбираем способ подсчёта

7. Есть 4 цвета карандашей и 2 вида тетрадей. Сколько пар «карандаш + тетрадь»?
8. С одним выбранным цветом карандаша сколько пар можно составить?
9. Если один вид тетради убрали, сколько пар осталось?
10. Если к 4 карандашам добавили пятый цвет, а тетрадей снова 2, сколько пар стало?
11. Заполни пропуск: 4 × ___ = 8 вариантов.
12. Сравни наборы 4×2 и 3×3. В каком больше вариантов и на сколько?

Учитываем запреты и повторы

13. Есть 3 напитка и 3 вида печенья. Один конкретный напиток нельзя сочетать с одним конкретным печеньем. Сколько допустимых пар?
14. Объясни вычисление для задания 13 двумя способами: от полного числа и по ветвям.
15. В полном наборе 2×4=8 пар. Две разные пары запрещены. Сколько допустимых пар остаётся?
16. Если из 8 допустимых вариантов один случайно записали дважды, сколько строк будет в списке, если остальные записаны по одному?
17. Список содержит 9 строк, но две строки — точные повторы уже записанных комбинаций. Сколько максимум разных комбинаций может быть в таком списке?
18. Ожидалось 10 уникальных вариантов. После удаления всех повторов осталось 8. Сколько разных вариантов отсутствует?

Проверяем полноту и объясняем стратегию

19. Ученик получил 6 вариантов, но в его списке 7 строк. Что нужно проверить в первую очередь?
20. Ученик получил 8 вариантов по формуле, а записал только 7 разных комбинаций. Что это означает?
21. Есть 3 первых выбора и одинаковое число вторых. Получилось 12 уникальных комбинаций. Сколько вторых выборов?
22. Есть 2 вторых выбора и 10 уникальных комбинаций. Сколько первых выборов?
23. Что надёжнее для проверки полного списка из небольшого числа комбинаций: только посчитать строки или ещё сверить ветви? Объясни.
24. Составь критерий хорошего списка вариантов из двух шагов.

Применяем навык в коротких задачах

25. Для значка выбирают 4 формы и 3 цвета. Сколько разных значков можно описать двумя признаками?
26. Один цвет временно недоступен. Форм 4, цветов осталось 2. Сколько вариантов?
27. В магазине подарочную коробку выбирают из 3 размеров и 2 рисунков. Сколько вариантов упаковки?
28. Из 6 вариантов упаковки один рисунок в большом размере закончился. Сколько допустимых вариантов остаётся?
29. Самопроверка: для букв А, Б, В и цифр 1, 2 запиши все пары без повторов и сверяй количество двумя способами.
30. Объясни, чем «6 строк» отличается от «6 разных вариантов», если одна строка может повторяться.

Ответы и пояснения

1. 6: 3×2=6.
2. Красная+белая, красная+чёрная, синяя+белая, синяя+чёрная, зелёная+белая, зелёная+чёрная.
3. Красная+белая.
4. Зелёная+чёрная.
5. 5 уникальных комбинаций.
6. Потому что состав пары не изменился; повтор — это вторая запись уже существующей комбинации.
7. 8: 4×2=8.
8. 2.
9. 4: 4×1=4.
10. 10: 5×2=10.
11. 2.
12. В наборе 3×3 больше: 9 против 8, на 1.
13. 8: всего 3×3=9, одна конкретная пара запрещена, 9−1=8.
14. Способ 1: 9−1=8. Способ 2: две обычные ветви дают по 3 варианта, а ветвь с запретом — 2; 3+3+2=8.
15. 6: 8−2=6.
16. 9 строк: 8 разных вариантов плюс одна повторная запись.
17. Не более 7 разных комбинаций: 9 строк минус 2 повторные строки = 7 уникальных, если остальные различны.
18. 2 варианта отсутствуют: 10−8=2.
19. Проверить, нет ли повторов: 7 строк при ожидаемых 6 вариантах — признак как минимум одной лишней записи.
20. Один допустимый вариант пропущен: ожидается 8 уникальных, записано 7 разных.
21. 4: 12÷3=4; проверка 3×4=12.
22. 5: 10÷2=5.
23. Нужно сверить ветви. Одного числа строк недостаточно: список может иметь правильную длину, но содержать повтор и одновременно пропуск.
24. Критерий: каждая допустимая пара записана ровно один раз; запрещённых пар нет; количество уникальных строк совпадает с количеством конечных ветвей дерева.
25. 12: 4×3=12.
26. 8: 4×2=8.
27. 6: 3×2=6.
28. 5: из полного набора 6 исключили одну конкретную комбинацию.
29. А1, А2, Б1, Б2, В1, В2. Шесть разных пар; проверка 3×2=6 и три ветви по два продолжения.
30. «6 строк» — это количество записей. Если одна строка повторяется, разных вариантов будет меньше 6. Поэтому нужно проверять не только длину списка, но и уникальность каждой комбинации.

Как работать с карточкой

При проверке просите ребёнка обводить повторяющиеся строки одинаковым знаком, а затем отдельно отмечать пропуски по дереву. Это помогает увидеть две разные ошибки: лишнюю запись и отсутствующую комбинацию.