Математика на практике: Сравнение двух отрезков по разности их длин в сантиметрах — 1 класс
Чтобы сравнить два отрезка, недостаточно сказать, какой длиннее. Полезно узнать ещё и на сколько сантиметров один длиннее другого. Для этого сначала определяют обе длины, затем находят их разность.
Содержание статьи12 разделов
1. Таблица наблюдений: что меняется, а что сохраняется?
| Пара | Отрезок А | Отрезок Б | Длина А | Длина Б |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 см → 7 см | 0 см → 5 см | 7 см | 5 см |
| 2 | 2 см → 9 см | 3 см → 8 см | 7 см | 5 см |
| 3 | 1 см → 6 см | 4 см → 8 см | 5 см | 4 см |
| 4 | 3 см → 10 см | 2 см → 8 см | 7 см | 6 см |
Разобранный пример 1. В паре 1: 7 см − 5 см = 2 см. Отрезок А длиннее Б на 2 см.
Разобранный пример 2. В паре 2 отрезки сдвинуты от нуля, но длины всё равно 7 см и 5 см. Разность снова 2 см.
Разобранный пример 3. В паре 3 длины 5 см и 4 см. А длиннее Б на 1 см.
2. Найди закономерность и сформулируй правило
- 1. Для пары 4 найди, на сколько сантиметров А длиннее Б.
- 2. Что нужно сделать сначала, если отрезок начинается не на 0 см: сравнить правые отметки или найти длины?
- 3. Продолжи правило: «Чтобы узнать, на сколько один отрезок длиннее другого, нужно из …».
- 4. Объясни, почему сравнивать только правые отметки 9 см и 8 см в паре 2 было бы ненадёжно.
Правило после наблюдения. Сначала найди длину каждого отрезка. Затем из большей длины вычти меньшую. Ответ обязательно запиши в сантиметрах.
3. Проверяем правило контрпримером
Модель А. Первый отрезок: 1 см → 9 см. Второй: 4 см → 10 см. Правые концы 9 см и 10 см могут подсказать, будто второй длиннее.
Проверка. Первый: 9−1=8 см. Второй: 10−4=6 см. На самом деле первый длиннее на 2 см.
- 5. Назови ошибочный способ сравнения в этом примере.
- 6. Составь свой контрпример: два отрезка так, чтобы правый конец второго был дальше, но первый отрезок оказался длиннее.
- 7. Проверь утверждение: «Если оба отрезка начинаются на 0 см, можно сравнить их правые отметки». Верно ли? Объясни.
4. Упражнения на применение: вычисли, сравни, восстанови
8. А = 8 см, Б = 5 см. На сколько сантиметров А длиннее?
9. А = 4 см, Б = 9 см. На сколько сантиметров Б длиннее?
10. А: 2 см → 10 см; Б: 3 см → 9 см. Найди обе длины и разность.
11. А: 1 см → 6 см; Б: 5 см → 9 см. Какой длиннее?
12. Один отрезок 7 см, второй короче на 2 см. Какова длина второго?
13. Короткий отрезок 4 см, длинный больше на 3 см. Какова длина длинного?
14. Разность длин 2 см. Короткий отрезок 6 см. Найди длину длинного.
15. Длины 5 см и 5 см. На сколько сантиметров один длиннее другого?
5. Единицы: сравнение возможно только после согласования
- 16. Первый отрезок 1 дм, второй 8 см. Используй 1 дм = 10 см. Какой длиннее и на сколько сантиметров?
- 17. Длина 10 см. Запиши её в дециметрах.
- 18. Для длины школьной линейки выбери разумную единицу: сантиметры или километры.
- 19. Ученик сравнил 1 дм и 9 см как числа «1 и 9» и решил, что 9 см больше. Исправь рассуждение.
6. Рассуждение, ошибка и мини-проверка
20. Готовое решение: «А: 3 см → 9 см, значит 9 см. Б: 2 см → 7 см, значит 7 см. А длиннее на 2 см». Найди первую ошибку и исправь весь вывод.
21. А: 4 см → 10 см. Б: 1 см → 8 см. Не спеши по правым отметкам. Найди длины и объясни, какой отрезок длиннее.
22. Два отрезка отличаются на 3 см. Один равен 5 см. Назови возможную длину другого, если он длиннее.
23. Мини-проверка: А = 9 см, Б = 6 см. Запиши сравнение словами и действие.
24. Сформулируй правило сравнения длин одним предложением, не используя слово «конец».
Сначала нахожу реальные длины.
Вычитаю меньшую длину из большей.
Перед сравнением привожу единицы к одинаковым.
Проверяю, что разность меньше большей длины.
7. Ответы и пояснения
1. 1 см.
2. Сначала найти длины.
3. Из большей длины вычесть меньшую.
4. Потому что начала разные; правая отметка показывает положение, а не длину.
5. Ошибка — сравнение только правых отметок.
6. Возможный пример: первый 1→9 см, второй 5→10 см. Длины 8 см и 5 см; правый конец второго дальше, но первый длиннее.
7. Да: при общем начале 0 см правая отметка численно равна длине.
8. На 3 см.
9. На 5 см.
10. 8 см и 6 см; А длиннее на 2 см.
11. А = 5 см, Б = 4 см; А длиннее на 1 см.
12. 5 см.
13. 7 см.
14. 8 см.
15. На 0 см: длины равны.
16. 1 дм = 10 см; первый длиннее на 2 см.
17. 1 дм.
18. Сантиметры.
19. Сначала 1 дм = 10 см; 10 см больше 9 см на 1 см.
20. Первая ошибка — правые отметки названы длинами. А = 9−3=6 см, Б = 7−2=5 см; А длиннее на 1 см.
21. А = 6 см, Б = 7 см; Б длиннее на 1 см.
22. 8 см.
23. А длиннее Б на 3 см; 9 см − 6 см = 3 см.
24. Найди обе длины в одинаковых единицах и вычти меньшую длину из большей.
Исследуем разность длин без спешки
Разность — это «на сколько». Если длины 8 см и 5 см, разность 3 см показывает не длину нового отрезка, а насколько первый длиннее второго. Это отвечает на вопрос сравнения.
Равные длины. Для 6 см и 6 см вычисление 6−6=0 см означает, что ни один отрезок не длиннее. Нулевая разность — нормальный и осмысленный результат.
Сначала восстанови длины. Если даны положения 2→9 см и 4→10 см, сравнивать числа 9 и 10 нельзя. Сначала получаем 7 см и 6 см, и только потом находим разность 1 см.
Единицы должны совпасть. Для 1 дм и 8 см сначала преобразуем 1 дм в 10 см. После этого 10−8=2 см. Сравнение разных единиц «как написано» может дать ложный вывод.
Обратное восстановление. Если длинный отрезок 9 см, а разность 4 см, короткий равен 9−4=5 см. Если известен короткий и разность, длину длинного находят сложением.
Проверка диапазона. Разность не может быть отрицательной, если из большей длины вычитается меньшая. Также она не может превышать большую длину. Эти ограничения помогают быстро найти ошибку.
Как строится доказательное объяснение
Назови длину первого отрезка. Если он задан двумя отметками, сначала вычисли их разность.
Так же найди длину второго отрезка и убедись, что единицы одинаковы.
Сравни длины и вычти меньшую из большей.
Сформулируй вывод полностью: «… длиннее … на … см» или «отрезки равны».
Контрпример как способ проверки правила. Если кто-то предлагает сравнивать только правые отметки, достаточно взять 1→9 см и 5→10 см. Правый конец второго дальше, но длины 8 см и 5 см, поэтому первый отрезок длиннее.
Читаем вопрос «на сколько» правильно
Не путай «какой длиннее» и «на сколько длиннее». Первый вопрос требует сравнения, второй — ещё и разности. Для 8 см и 5 см ответ «первый» неполон, если спрашивают разницу: нужно назвать 3 см.
Разность показывает добавку. Чтобы из 5 см получить 8 см, нужно добавить 3 см. Поэтому разность 3 см можно проверять сложением: 5+3=8 см.
Сдвинутые отрезки. Если А расположен 2→8 см, а Б 4→9 см, их длины 6 см и 5 см. Положение на шкале разное, но вопрос сравнения решается только через реальные длины.
Равенство как отдельный случай. Если обе длины 7 см, нельзя говорить, что одна «длиннее на 0 см» как о преимуществе. Лучше формулировать: отрезки равны, разность их длин 0 см.
Проверка ответа сложением. Если длинный отрезок 9 см, короткий 6 см и разность 3 см, должно выполняться 6 см + 3 см = 9 см. Это быстрый способ подтвердить сравнение без повторного вычитания.
Словарь действий для самостоятельной работы
«Длиннее на» — найди разность.
«Короче на» — та же разность, но вывод относится к меньшему.
«Вместе» — обычно сложение длин, если действительно спрашивают общую длину.
«Равны?» — сравни после приведения единиц к одинаковым.
Формулировка вывода имеет значение. После вычисления 8 см − 5 см = 3 см лучше писать не просто «3 см», а «первый отрезок длиннее второго на 3 см». Так ясно, к какой паре относится разность и какое сравнение выполнено. Полная фраза также помогает не перепутать, какой отрезок был длиннее. Если разность равна 0 см, итог нужно сформулировать как равенство длин.
Дополнительные карточки на сравнение
- 25. А = 10 см, Б = 7 см. Найди разность длин.
- 26. А: 2→7 см, Б: 1→8 см. Какой длиннее и на сколько?
- 27. Длинный отрезок 9 см, он длиннее короткого на 4 см. Найди короткий.
- 28. Оба отрезка по 1 дм. Какова разность их длин в сантиметрах?
25. 3 см.
26. А = 5 см, Б = 7 см; Б длиннее на 2 см.
27. 5 см.
28. 0 см, потому что 1 дм = 10 см у каждого.
Проверка здравого смысла. Разность длин не может быть больше самого длинного отрезка. Если получено обратное, значит перепутаны данные, единицы или порядок действий. При равных длинах разность всегда 0 см.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.