Задачи и рассуждения по теме «Составь кратчайший маршрут между двумя клетками без диагоналей» для 1 класса

Кратчайший маршрут без диагоналей — это путь, в котором нет лишних шагов. Чтобы попасть из одной клетки в другую, нужно отдельно исправить разницу по строкам и по столбцам: сколько строк пройти вверх или вниз и сколько столбцов — вправо или влево.

Разобранный пример 1. Из (2,2) в (4,5): вниз на 2 строки и вправо на 3 столбца. Всего 2+3=5 шагов. Один вариант: ↓ ↓ → → →.
Разобранный пример 2. Из (5,4) в (2,2): вверх на 3 строки и влево на 2 столбца. Всего 5 шагов. Порядок допустимых шагов можно менять, длина останется 5.
Способ проверки. Сосчитай отдельно вертикальные и горизонтальные изменения. Если маршрут содержит ровно столько нужных шагов и ни одного шага в противоположную сторону, он кратчайший.
Содержание статьи14 разделов

1. Карточки-пары 1–2: реши и проверь другим способом

Пара 1

Задание 1. Из (1,1) в (3,4). Составь кратчайший маршрут и назови число шагов.

Задание 2. Проверь ответ другим способом: посчитай, на сколько меняется номер строки и на сколько — номер столбца.

Пара 2

Задание 3. Из (4,5) в (2,2). Составь кратчайший маршрут.

Задание 4. Проверь маршрут обратным путём: запиши команды от финиша к старту и сравни число шагов.

2. Карточки-пары 3–4: сравни два маршрута

Пара 3

Задание 5. Из (2,1) в (2,5) ученик предлагает А: →→→→ и Б: →↓→↑→→. Какой маршрут кратчайший?

Задание 6. Объясни, почему второй путь длиннее, хотя приходит в ту же клетку.

Пара 4

Задание 7. Из (5,2) в (3,4): путь А = ↑↑→→; путь Б = →↑→↑. Оба ли кратчайшие?

Задание 8. Проверь каждый путь подсчётом вертикальных и горизонтальных шагов.

3. Карточки-пары 5–6: выбери порядок команд

Пара 5

Задание 9. Из (4,1) в (1,3) нужно 3 шага вверх и 2 вправо. Запиши один кратчайший маршрут.

Задание 10. Запиши другой кратчайший маршрут, изменив порядок команд, и проверь, что он тоже состоит из 5 шагов.

Пара 6

Задание 11. Из (1,5) в (5,3) составь кратчайший маршрут.

Задание 12. Проверь его по разнице координат и назови, сколько шагов приходится на вертикаль и сколько — на горизонталь.

4. Карточка-пара 7 и задачи на выбор стратегии

Пара 7

Задание 13. Из (3,3) в (5,1) найди длину кратчайшего пути, не записывая сразу все команды.

Задание 14. Затем запиши маршрут и проверь длину прямым подсчётом команд.

  1. Задание 15. Что быстрее для поиска длины пути из (2,4) в (5,1): рисовать все клетки или сначала найти разницу строк и столбцов? Выбери способ и найди длину.
  2. Задание 16. Из (4,4) в (4,1) сколько минимум шагов? Объясни, почему вертикальные шаги здесь не нужны.
  3. Задание 17. Из (1,2) в (5,2) сколько минимум шагов? Что общего у старта и финиша?
  4. Задание 18. Из (2,2) в (4,4) ученик записал 5 шагов. Можно ли сразу понять, что путь не кратчайший? Обоснуй.
Критерий сильного объяснения: ученик отдельно называет нужное число вертикальных и горизонтальных шагов, складывает их и сравнивает с длиной предложенного маршрута. Хорошо, если он замечает лишний шаг в противоположную сторону.

5. Открытая задача: несколько верных маршрутов

Задание 19. Фишка стоит в (5,1), цель — (2,4). Найди длину кратчайшего пути. Запиши три разных кратчайших маршрута. Они должны отличаться порядком команд, но все вести в одну цель.

Задание 20. Объясни, почему количество кратчайших шагов не зависит от того, делаешь ли ты сначала все движения вверх, затем вправо, или чередуешь их.

Для этой задачи нужны 3 шага вверх и 3 шага вправо. Любой порядок этих шести нужных шагов, который не добавляет противоположных движений, остаётся кратчайшим.

6. Поиск и исправление ошибки

Задание 21. Ученик идёт из (2,2) в (4,5) и записал: ↓ → → ↑ ↓ →. Он утверждает, что путь кратчайший, потому что в конце пришёл в (4,5). Проверь утверждение, найди лишние действия и предложи более короткий путь.

Задание 22. Из (5,5) в (3,2) записан путь: ← ← ↑ ← ↑. Проверь, кратчайший ли он, и объясни двумя способами.

7. Мини-проверка и ответы

  1. Задание 23. Быстрый тест: из (3,1) в (1,4) нужно 5, 4 или 3 шага? Обоснуй.
  2. Задание 24. Быстрый тест: может ли кратчайший маршрут из (2,2) в (2,5) содержать команду «вверх»? Объясни.
Главная идея кратчайшего пути. Не нужно перебирать все возможные маршруты. Сравни номера строк старта и финиша: их разница показывает обязательное число вертикальных шагов. Затем сравни номера столбцов: их разница показывает обязательное число горизонтальных шагов. Сумма этих двух величин — минимальная длина пути без диагоналей.

Почему порядок не меняет длину. Если нужно 3 шага вверх и 2 вправо, можно выполнить сначала ↑↑↑→→, можно ↑→↑→↑, можно начать с двух шагов вправо. Пока набор команд остаётся тем же — три ↑ и две → — путь содержит 5 шагов. Меняется форма маршрута, но не его длина.

Проверка пар 1–2. В паре 1 строка меняется 1→3, то есть на 2, столбец 1→4, то есть на 3. В паре 2 строка 4→2 требует 2 шагов вверх, столбец 5→2 — 3 шагов влево. В обоих случаях сумма равна 5.
Проверка пары 3. Маршрут Б содержит движение вниз, а затем вверх. Для старта и финиша строка одна и та же, поэтому вертикальные движения вообще не нужны. Эта пара команд сразу показывает лишние 2 шага.

Как распознать лишний шаг. Если цель находится правее старта и на той же строке, любое движение вверх, вниз или влево увеличивает путь. Если цель выше и левее, полезны только ↑ и ←. Такое рассуждение помогает быстро увидеть, какие направления обязательны, а какие делают обход.

Открытая задача и несколько правильных ответов. В задании 19 допустимы разные маршруты, потому что условие просит три разных порядка одних и тех же нужных движений. Это не неоднозначность ошибки: критерий един — каждый маршрут должен иметь 6 шагов, состоять ровно из трёх ↑ и трёх → и закончиться в (2,4).

Проверка обратным маршрутом. Если путь от A к B кратчайший, обратный путь от B к A той же длины: каждую команду заменяем противоположной и читаем последовательность с конца. Например ↑↑←←← превращается в →→→↓↓. Количество шагов не меняется.

Мини-самодиагностика. Перед итоговой проверкой ответь: 1) что показывает разница строк; 2) что показывает разница столбцов; 3) почему лишняя пара противоположных команд делает путь длиннее. Если эти три идеи понятны, можно оценивать длину маршрута ещё до рисования.

Ещё одна проверка на здравый смысл. Если старт и финиш находятся в одной строке, кратчайший путь не требует движений вверх и вниз; если в одном столбце — не требует движений вправо и влево. Если различаются и строка, и столбец, кратчайший путь обязательно содержит движения двух направлений: одного вертикального и одного горизонтального.

Как сравнить два готовых маршрута без полного прохождения. Сначала найди теоретический минимум по разнице координат. Затем просто сосчитай команды в каждом предложенном пути. Маршрут, который длиннее минимума, уже не может быть кратчайшим. Если длина равна минимуму, останется проверить, что команды действительно приводят в нужную клетку.

Почему диагональ запрещена. Один обычный шаг меняет либо строку, либо столбец, но не оба числа сразу. Поэтому переход из (2,2) в (3,3) нельзя считать одним шагом: без диагоналей понадобится два — например ↓→ или →↓.

1–2. Нужно вниз 2 и вправо 3, всего 5 шагов. Например ↓↓→→→. Проверка: |3−1|=2, |4−1|=3, 2+3=5.
3–4. Вверх 2 и влево 3, всего 5. Например ↑↑←←←. Обратный путь: →→→↓↓, тоже 5 шагов.
5–6. Кратчайший А: 4 шага. Б содержит лишнюю пару ↓↑, поэтому имеет 6 шагов.
7–8. Оба кратчайшие: в каждом 2 шага вверх и 2 вправо, всего 4.
9–10. Например ↑↑↑→→ и ↑→↑→↑. Оба по 5 шагов и приводят в (1,3).
11–12. Нужны 4 вниз и 2 влево, всего 6. Например ↓↓↓↓←←. Проверка: вертикаль 4, горизонталь 2.
13–14. Разница по строкам 2, по столбцам 2; длина 4. Например ↓↓←←.
15. Удобно сравнить координаты: вниз 3 и влево 3, всего 6 шагов.
16. 3 шага влево. Строка у старта и финиша одна и та же — 4.
17. 4 шага вниз. Столбец одинаковый — 2.
18. Да. Нужно вниз 2 и вправо 2, минимум 4 шага; значит маршрут из 5 шагов не кратчайший.
19. Длина 6. Примеры: ↑↑↑→→→; →→→↑↑↑; ↑→↑→↑→.
20. В любом варианте обязательны те же 3 шага вверх и 3 вправо; меняется лишь порядок, сумма остаётся 6.
21. Маршрут приходит в цель, но не кратчайший: в нём есть лишняя пара ↑ и ↓. Минимум: 2 вниз + 3 вправо = 5 шагов. Например ↓↓→→→.
22. Да, кратчайший: 3 влево и 2 вверх, всего 5; по разнице координат тоже 3+2=5.
23. 5 шагов: вверх 2 и вправо 3.
24. Нет. Нужны только 3 шага вправо; движение вверх потребует затем лишнего движения вниз.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым