Задачи и рассуждения по теме «Составь все двухшаговые коды из двух наборов стрелок направления» для 2 класса
Двухшаговый код состоит из первой стрелки и второй стрелки. Порядок важен: ↑→ и →↑ — разные коды. Правило сначала не даётся: его нужно обнаружить по примерам.
Содержание статьи10 разделов
Наблюдение: какие коды уже показаны
Набор первого шага: ↑, →
Набор второго шага: ↓, ←
↑↓
↑←
→↓
→←
Разобранный пример 1. Берём первую стрелку ↑ и соединяем по очереди с каждой стрелкой второго набора: ↑↓, ↑←. Затем берём →: →↓, →←. Получили четыре кода без пропусков.
Разобранный пример 2. Если первый набор {←, ↓}, второй {↑, →}, то коды: ←↑, ←→, ↓↑, ↓→. Проверка: в каждом коде первая стрелка только из первого набора, вторая — только из второго.
Разобранный пример 3. Список ↑↓, ↑←, →↓, ↑↓ неверен: последний код повторяет первый, а →← пропущен. Число записей четыре, но различных кодов только три.
Вопросы-наводки: сформулируй закономерность
- 1. Сколько кодов начинается со стрелки ↑ в модели выше?
- 2. Сколько кодов начинается со стрелки →?
- 3. Почему для каждой стрелки первого шага получается по два кода?
- 4. Закончи фразу: «Чтобы ничего не пропустить, я фиксирую первую стрелку и …».
- 5. Объясни, почему ↑← и ←↑ нельзя считать одним кодом.
Вывод. Систематический перебор: фиксируем первый шаг, перебираем все допустимые вторые; затем меняем первый шаг и снова перебираем все вторые.
Применяем правило к новым наборам
| № | Первый шаг | Второй шаг | Что сделать |
|---|---|---|---|
| 6 | ←, ↑ | →, ↓ | Записать все коды |
| 7 | ↓, → | ↑, ← | Записать все коды |
| 8 | ↑, ↓ | ←, → | Назвать код, который начинается ↓ и заканчивается → |
| 9 | →, ← | ↑, ↓ | Сколько кодов начинаются ←? |
| 10 | ↑, → | ↓, ← | Сколько всего разных кодов? |
- 11. Для наборов {↑, ←} и {↓, →} ученик записал ↑↓, ↑→, ←↓. Какой код пропущен?
- 12. Для наборов {↓, →} и {←, ↑} ученик добавил код ↑→. Почему он недопустим?
- 13. Для наборов {↑, →} и {↓, ←} переставь перебор так, чтобы сначала группировать по второй стрелке. Получится ли тот же набор кодов?
- 14. Сравни два способа проверки: таблица 2×2 и перечитывание списка. Какой надёжнее для поиска пропуска и почему?
Исключения и ошибки
Ошибка A. Ученик считает →↑ и ↑→ одинаковыми.
15. Исправь объяснение, используя слова «первый шаг» и «второй шаг».
15. Исправь объяснение, используя слова «первый шаг» и «второй шаг».
Ошибка B. В списке четыре записи, но одна повторяется.
16. Можно ли по числу строк сделать вывод, что все четыре кода учтены? Объясни.
16. Можно ли по числу строк сделать вывод, что все четыре кода учтены? Объясни.
- 17. Из наборов {←, →} и {↑, ↓} составили ←↑, ←↓, →↑, →↓. Докажи, что список полный.
- 18. Придумай два набора по две разные стрелки так, чтобы код ↑↑ был возможен. Запиши наборы и все коды.
- 19. Придумай условие, при котором из четырёх исходных кодов останутся ровно три допустимых.
- 20. Если запрещён код →←, а исходные наборы {↑, →} и {↓, ←}, сколько допустимых кодов останется? Назови их.
Мини-тест и самопроверка
21.
{↑,↓} × {→,←}
Сколько?
{↑,↓} × {→,←}
Сколько?
22.
Начало ←, конец ↑
Запиши код
Начало ←, конец ↑
Запиши код
23.
↑↓, ↑←, →↓
Что пропущено?
↑↓, ↑←, →↓
Что пропущено?
24.
Верно ли: порядок не важен?
Верно ли: порядок не важен?
Почему направление делает порядок важным
Код задаёт последовательность действий. Если робот сначала идёт вверх, а потом вправо, его путь отличается от движения сначала вправо, затем вверх, даже если конечная точка на простой квадратной сетке может совпасть. Поэтому в коде нельзя менять местами стрелки без изменения смысла.
Две независимые проверки
Первая проверка — сгруппировать коды по первой стрелке и убедиться, что для каждой использованы все вторые стрелки. Вторая — перегруппировать по второй стрелке и убедиться, что для каждой второй стрелки встречаются все первые. Совпадение двух проверок хорошо выявляет случайный пропуск.
Как объяснять найденную ошибку
Полезно назвать не только неверную строку, но и нарушенное правило. Например: «Код ↑↑ недопустим, потому что во втором наборе нет ↑» или «Код →← записан дважды, поэтому одна из четырёх возможных пар ещё не представлена». Такое объяснение показывает источник ошибки, а не только исправление.
Разбор стратегий и самопроверки
Код — это последовательность, а не набор
Стрелки в коде имеют позиции. Первая отвечает за первый шаг, вторая — за второй. Поэтому ↑→ и →↑ различаются, даже если используются одни и те же два знака. При проверке обязательно сохраняй принадлежность стрелки своему набору: первая берётся только из первого, вторая — только из второго.
Стрелки в коде имеют позиции. Первая отвечает за первый шаг, вторая — за второй. Поэтому ↑→ и →↑ различаются, даже если используются одни и те же два знака. При проверке обязательно сохраняй принадлежность стрелки своему набору: первая берётся только из первого, вторая — только из второго.
Таблица кодов 2×2
Можно мысленно поставить стрелки первого шага в строки, второго — в столбцы. Каждая клетка даёт один двухшаговый код. Такая модель показывает четыре допустимые комбинации и помогает заметить, если одна запись повторена, а другая отсутствует.
Можно мысленно поставить стрелки первого шага в строки, второго — в столбцы. Каждая клетка даёт один двухшаговый код. Такая модель показывает четыре допустимые комбинации и помогает заметить, если одна запись повторена, а другая отсутствует.
Проверка по началу кода
Сгруппируй список по первой стрелке. Если в первом наборе две стрелки, должно получиться две группы. В каждой группе должны встретиться обе допустимые вторые стрелки. Если в группе только одна запись, значит один код потерян.
Сгруппируй список по первой стрелке. Если в первом наборе две стрелки, должно получиться две группы. В каждой группе должны встретиться обе допустимые вторые стрелки. Если в группе только одна запись, значит один код потерян.
Проверка по концу кода
Теперь перегруппируй те же коды по второй стрелке. Для каждого допустимого конца должны встретиться обе первые стрелки. Это независимая проверка: она меняет взгляд на список и поэтому лучше обнаруживает пропуск, чем повторное чтение в том же порядке.
Теперь перегруппируй те же коды по второй стрелке. Для каждого допустимого конца должны встретиться обе первые стрелки. Это независимая проверка: она меняет взгляд на список и поэтому лучше обнаруживает пропуск, чем повторное чтение в том же порядке.
Как распознать недопустимый код
Проверь позиции отдельно. Если ↑ разрешена только как второй шаг, код ↑→ уже нарушает условие в первой позиции. Недопустимость определяется не тем, знакома ли стрелка вообще, а тем, входит ли она в набор именно для этой позиции.
Проверь позиции отдельно. Если ↑ разрешена только как второй шаг, код ↑→ уже нарушает условие в первой позиции. Недопустимость определяется не тем, знакома ли стрелка вообще, а тем, входит ли она в набор именно для этой позиции.
Что делает запрет
Если исходно четыре кода и запрещён ровно один конкретный код, остаются три. Но сначала полезно перечислить все четыре, затем удалить запрещённый. Так видно, что никакой другой код случайно не исчез, а запрещённый действительно присутствовал в полном наборе.
Если исходно четыре кода и запрещён ровно один конкретный код, остаются три. Но сначала полезно перечислить все четыре, затем удалить запрещённый. Так видно, что никакой другой код случайно не исчез, а запрещённый действительно присутствовал в полном наборе.
Почему четыре строки могут быть неполными
Список ↑↓, ↑←, →↓, ↑↓ содержит четыре строки, но только три разных кода. Повтор занял место →←. Поэтому проверка «строк четыре» недостаточна: нужно проверить уникальность и покрытие всех пар первой и второй стрелки.
Список ↑↓, ↑←, →↓, ↑↓ содержит четыре строки, но только три разных кода. Повтор занял место →←. Поэтому проверка «строк четыре» недостаточна: нужно проверить уникальность и покрытие всех пар первой и второй стрелки.
Как объяснять найденную ошибку
Хорошее объяснение состоит из трёх частей: назвать ошибочную запись, назвать нарушенное правило, дать исправление. Например: «↑→ недопустим, потому что ↑ отсутствует в наборе первого шага; вместо него в полном переборе должен быть ↓→». Это сильнее, чем просто написать правильный список.
Хорошее объяснение состоит из трёх частей: назвать ошибочную запись, назвать нарушенное правило, дать исправление. Например: «↑→ недопустим, потому что ↑ отсутствует в наборе первого шага; вместо него в полном переборе должен быть ↓→». Это сильнее, чем просто написать правильный список.
Сравнение стратегий
Для четырёх кодов устный перебор быстрый, но таблица 2×2 надёжнее при проверке чужой работы. Устный способ удобен для решения, таблица — для контроля полноты. Ученик может выбрать любой, но должен уметь объяснить, почему список завершён.
Для четырёх кодов устный перебор быстрый, но таблица 2×2 надёжнее при проверке чужой работы. Устный способ удобен для решения, таблица — для контроля полноты. Ученик может выбрать любой, но должен уметь объяснить, почему список завершён.
Мини-памятка
Фиксируй первый шаг → перебирай все вторые → меняй первый шаг → снова перебирай вторые → убирай повторы → сверяй позиции → проверяй вторым способом. Эта последовательность делает перебор систематическим, а не случайным.
Фиксируй первый шаг → перебирай все вторые → меняй первый шаг → снова перебирай вторые → убирай повторы → сверяй позиции → проверяй вторым способом. Эта последовательность делает перебор систематическим, а не случайным.
Контроль полноты за один взгляд
Если исходные наборы содержат по две стрелки, полный перечень должен распределяться на две группы по два кода: два с одной первой стрелкой и два с другой. Если размеры групп 1 и 3, почти наверняка есть повтор, недопустимая запись или код помещён не в ту группу.
Если исходные наборы содержат по две стрелки, полный перечень должен распределяться на две группы по два кода: два с одной первой стрелкой и два с другой. Если размеры групп 1 и 3, почти наверняка есть повтор, недопустимая запись или код помещён не в ту группу.
Ответы и пояснения
1) 2. 2) 2. 3) Потому что во втором наборе две стрелки, и каждая соединяется с фиксированной первой. 4) «…перебираю все стрелки второго шага». 5) В первом коде первым шагом является ↑, во втором — ←; порядок действий различается.
6) ←→, ←↓, ↑→, ↑↓. 7) ↓↑, ↓←, →↑, →←. 8) ↓→. 9) 2. 10) 4. 11) ←→. 12) Первая стрелка ↑ не входит в первый набор. 13) Да: ↓ можно соединить с ↑ и →, затем ← — с ↑ и →; множество кодов то же, меняется только порядок записи. 14) Таблица 2×2 обычно надёжнее: каждая клетка соответствует одной паре шагов.
15) Сильное объяснение: «→↑ — сначала вправо, потом вверх; ↑→ — сначала вверх, потом вправо, поэтому последовательности различны». 16) Нет. Повтор может скрывать пропуск; надо проверить уникальность и соответствие каждой паре. 17) Для ← перечислены оба конца ↑ и ↓, затем для → тоже оба; других первых или вторых стрелок нет. 18) Например, первый набор {↑, →}, второй {↑, ←}: ↑↑, ↑←, →↑, →←. 19) Например, запретить один конкретный код. 20) 3: ↑↓, ↑←, →↓.
21) 4. 22) ←↑. 23) →←. 24) Неверно: код задаёт последовательность двух шагов, поэтому порядок важен.
Критерий сильного объяснения. Есть указание на порядок шагов, полный перебор всех элементов второго набора для каждого элемента первого, а также проверка отсутствия повторов. Для исправления готового решения нужно назвать и пропуск, и причину, по которой он возник.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.