Мини-курс в заданиях: Проверь, все ли варианты учтены в готовом переборе — 2 класс
Эта страница устроена как матрица: по строкам растёт сложность, по столбцам меняется действие. Цель — не только посчитать варианты, но и заметить пропуски, повторы и неверные правила перебора.
Содержание статьи11 разделов
Разобранные примеры перед матрицей
Разобранный пример 1. Даны напитки {вода, сок} и стаканы {малый, большой}. Полный перебор: вода+малый, вода+большой, сок+малый, сок+большой. Если в готовом списке нет «сок+малый», список неполон.
Разобранный пример 2. В готовом перечне четыре строки, но «вода+малый» повторена дважды. Четыре строки не означают четыре различных варианта: сначала удаляем повтор, затем ищем пропуск.
Разобранный пример 3. Для двух цветов и трёх форм должно быть 6 сочетаний. Проверка: по каждому из двух цветов три формы, то есть 3+3=6; обратная проверка — по каждой из трёх форм два цвета, то есть 2+2+2=6.
Матрица заданий
| Уровень | Вычисли | Сравни | Объясни | Проверь |
|---|---|---|---|---|
| База | 1. 2 списка по 2 элемента: сколько пар? | 2. Что больше: 2×2 или 2+2? | 3. Почему для двух списков по два элемента получаются 4 пары? | 4. Список A1,A2,B1. Чего не хватает? |
| Уверенно | 5. 2 строки и 3 столбца: сколько клеток? | 6. Сравни полный список из 6 вариантов и список из 5: что надо проверить прежде всего? | 7. Почему повтор не увеличивает число различных вариантов? | 8. В списке X1,X2,X3,Y1,Y2,X2 найди повтор и пропуск. |
| С вызовом | 9. Из 6 вариантов один запрещён. Сколько допустимо? | 10. Что надёжнее для 2×3: случайный список или перебор по строкам? | 11. Объясни, как обратный перебор помогает проверить полноту. | 12. Ученик получил 7 вариантов для таблицы 2×3. Назови две возможные причины ошибки. |
Диагностика готовых переборов
Набор A
Красный круг
Красный квадрат
Синий круг
Синий квадрат
13. Полон ли список для цветов {красный, синий} и форм {круг, квадрат}?
Красный круг
Красный квадрат
Синий круг
Синий квадрат
13. Полон ли список для цветов {красный, синий} и форм {круг, квадрат}?
Набор B
Красный круг
Красный квадрат
Синий круг
Красный круг
14. Найди повтор и пропущенный вариант.
Красный круг
Красный квадрат
Синий круг
Красный круг
14. Найди повтор и пропущенный вариант.
Набор C. Строки: маленький, большой. Столбцы: круг, квадрат, треугольник. Готовый список: маленький круг, маленький квадрат, маленький треугольник, большой круг, большой треугольник.
15. Какой вариант пропущен?
16. Как проверить ответ, не перечитывая список в том же порядке?
15. Какой вариант пропущен?
16. Как проверить ответ, не перечитывая список в том же порядке?
Объясни решение и исправь ошибку
- 17. Ученик говорит: «В двух списках по два элемента всего два варианта, потому что элементов два». Составь короткое исправленное объяснение.
- 18. Ученик считает записи «красный+круг» и «круг+красный» разными вариантами, хотя первая характеристика всегда цвет, вторая форма. Исправь рассуждение.
- 19. Готовый перебор содержит все допустимые варианты и ещё один запрещённый. Можно ли назвать его полным и правильным? Объясни.
- 20. Почему полезно заранее выбрать порядок: сначала все варианты с первым элементом, потом со вторым?
- 21. Сформулируй признак сильной проверки готового перебора в одном-двух предложениях.
Практическая задача
В кружке робототехники выбирают один корпус и одну наклейку. Корпуса: белый, серый. Наклейки: круг, молния, звезда. В готовом заказе записаны: белый круг, белая молния, белая звезда, серый круг, серый круг, серый звезда.
- 22. Сколько строк в готовом заказе?
- 23. Сколько различных допустимых сочетаний в полном наборе должно быть?
- 24. Какой вариант повторён?
- 25. Какой вариант пропущен?
- 26. Исправь список так, чтобы он был полным и без повторов.
- 27. Проверь исправленный список по столбцам наклеек.
- 28. Если запретить серую звезду, сколько допустимых сочетаний останется после учёта запрета?
Мини-проверка перед ответами
Отметь для себя четыре пункта: есть порядокнет повторовнет пропусковвсе ограничения соблюдены. Если хотя бы один пункт не выполнен, готовый перебор ещё нельзя считать проверенным.
Диагностика ошибки по её следу
Если строк столько, сколько должно быть вариантов, но обнаружен повтор, почти всегда где-то есть пропуск. Если строк больше ожидаемого числа, ищи повтор или недопустимую комбинацию. Если строк меньше, ищи пропуск. Такой предварительный диагноз помогает выбрать, что проверять первым.
Почему «все варианты есть» ещё недостаточно
Перебор может содержать все нужные варианты и одновременно лишние записи. Тогда он полный, но неправильный. В учебной проверке важны два разных вопроса: ничего ли не пропущено и ничего ли не добавлено сверх условия. Оба ответа должны быть положительными для корректного результата.
Самопроверка перед сдачей
Сначала сравни количество различных вариантов с ожидаемым числом. Затем проверь каждую запись на соответствие исходным спискам и ограничениям. После этого сгруппируй варианты по другому признаку. Если все группы имеют ожидаемый размер, список, скорее всего, полный и без повторов.
Разбор стратегий и самопроверки
Матрица как диагностический инструмент
Разные столбцы требуют разных мыслительных действий. Ученик может правильно вычислить число вариантов, но ошибиться при проверке готового списка. Поэтому оценивать нужно не один итоговый ответ, а умение считать, сравнивать, объяснять и находить конкретную ошибку.
Разные столбцы требуют разных мыслительных действий. Ученик может правильно вычислить число вариантов, но ошибиться при проверке готового списка. Поэтому оценивать нужно не один итоговый ответ, а умение считать, сравнивать, объяснять и находить конкретную ошибку.
След повтора
Если ожидается шесть разных вариантов, записано шесть строк и одна строка повторяется, полный набор невозможен: уникальных строк осталось только пять. Значит, кроме повтора существует пропуск. Это логический вывод ещё до того, как найдено, какая именно комбинация отсутствует.
Если ожидается шесть разных вариантов, записано шесть строк и одна строка повторяется, полный набор невозможен: уникальных строк осталось только пять. Значит, кроме повтора существует пропуск. Это логический вывод ещё до того, как найдено, какая именно комбинация отсутствует.
След лишней записи
Если все шесть допустимых вариантов уже присутствуют и добавлена седьмая запись, надо проверить её допустимость или совпадение. Полнота сама по себе не гарантирует правильность: список должен одновременно не иметь пропусков, повторов и чужих комбинаций.
Если все шесть допустимых вариантов уже присутствуют и добавлена седьмая запись, надо проверить её допустимость или совпадение. Полнота сама по себе не гарантирует правильность: список должен одновременно не иметь пропусков, повторов и чужих комбинаций.
Проверка ограничения
После составления полного набора применяй запрет отдельно. Например, если серая звезда запрещена, она должна исчезнуть из итогового списка, но остальные пять комбинаций обязаны остаться. Такой двухэтапный подход уменьшает вероятность удалить лишнее.
После составления полного набора применяй запрет отдельно. Например, если серая звезда запрещена, она должна исчезнуть из итогового списка, но остальные пять комбинаций обязаны остаться. Такой двухэтапный подход уменьшает вероятность удалить лишнее.
Независимая перегруппировка
Если решение строилось по корпусам, проверяй по наклейкам. Для круга должны быть белый и серый корпуса, для молнии — оба, для звезды — оба, если нет запрета. После запрета размер одной группы может уменьшиться ровно на один и это должно объясняться условием.
Если решение строилось по корпусам, проверяй по наклейкам. Для круга должны быть белый и серый корпуса, для молнии — оба, для звезды — оба, если нет запрета. После запрета размер одной группы может уменьшиться ровно на один и это должно объясняться условием.
Сильное объяснение ошибки
Нужно назвать не только «неправильно», а точный дефект. Например: «Серый круг записан дважды, поэтому шесть строк содержат только пять разных комбинаций; отсутствует серая молния». Такое объяснение одновременно фиксирует повтор, следствие и исправление.
Нужно назвать не только «неправильно», а точный дефект. Например: «Серый круг записан дважды, поэтому шесть строк содержат только пять разных комбинаций; отсутствует серая молния». Такое объяснение одновременно фиксирует повтор, следствие и исправление.
Как отделить полноту от корректности
Полный список отвечает на вопрос «все ли нужные варианты присутствуют?». Корректный — ещё и «нет ли лишних, запрещённых или повторных записей?». В проверке чужой работы эти два вопроса задаются отдельно, иначе можно принять ошибочный перечень за правильный.
Полный список отвечает на вопрос «все ли нужные варианты присутствуют?». Корректный — ещё и «нет ли лишних, запрещённых или повторных записей?». В проверке чужой работы эти два вопроса задаются отдельно, иначе можно принять ошибочный перечень за правильный.
Финальный чек-лист
Ожидаемое число вариантов известно. Все записи допустимы. Каждая комбинация встречается один раз. Пропусков нет. Ограничения учтены. Перегруппировка по другому признаку подтверждает результат. Если выполнены все пункты, перебор можно считать проверенным.
Ожидаемое число вариантов известно. Все записи допустимы. Каждая комбинация встречается один раз. Пропусков нет. Ограничения учтены. Перегруппировка по другому признаку подтверждает результат. Если выполнены все пункты, перебор можно считать проверенным.
Ответы и пояснения
1) 4. 2) Равны: 2×2=4 и 2+2=4. 3) Каждый из двух элементов первого списка соединяется с каждым из двух элементов второго: 2+2=4. 4) B2. 5) 6. 6) Проверить пропуск: для полного набора должно быть 6 разных допустимых вариантов. 7) Повтор уже учтённого сочетания не создаёт новую комбинацию. 8) Повтор X2; пропуск Y3.
9) 5. 10) Систематический перебор по строкам надёжнее: видно, что каждая строка получила все три столбца. 11) Можно сгруппировать тот же набор по столбцам; если в каждом столбце представлены обе строки, список полный. 12) Например, один вариант посчитан дважды или добавлен вариант, не соответствующий исходным категориям.
13) Да, список полный. 14) Повторён красный круг, пропущен синий квадрат. 15) Большой квадрат. 16) Проверить по столбцам: у круга, квадрата и треугольника должны быть оба размера. 17) Сильный ответ: «Для каждого из двух элементов первого списка есть два выбора из второго, поэтому 2+2=4 пары». 18) Это одно сочетание признаков; порядок слов в записи не создаёт новую комбинацию. 19) Нет: список может быть полным по допустимым вариантам, но он неправильный из-за лишнего запрещённого варианта. 20) Такой порядок помогает видеть завершённые группы и замечать пропуски.
21) Сильная проверка подтверждает четыре вещи: все исходные элементы использованы в систематическом порядке, повторов нет, пропусков нет, ограничения соблюдены. 22) 6 строк. 23) 6 различных сочетаний. 24) Серый круг. 25) Серая молния. 26) белый круг, белая молния, белая звезда, серый круг, серая молния, серая звезда. 27) Для круга есть белый и серый корпуса; для молнии — белый и серый; для звезды — белый и серый. 28) 5.
Критерий сильного объяснения. Не достаточно написать «так правильно». Нужно указать систематический порядок перебора, назвать конкретный повтор или пропуск и показать независимую проверку — например, сгруппировать варианты по другому признаку.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.