Рабочая карточка «Может ли сумма двух чисел до 10 быть больше 20» для 1 класса: от примера к самостоятельной работе

Стартовое задание. Числа в этой карточке берём от 0 до 10 включительно. Может ли сумма двух таких чисел быть больше 20? Запиши первое предположение: «да» или «нет», но пока не доказывай.
Содержание статьи6 разделов

Выбери маршрут после старта

Маршрут «я уверен»

Попробуй сразу назвать самую большую возможную пару чисел и её сумму. Затем переходи к заданиям 1–6.

Маршрут «нужна подсказка»

Посмотри на шкалу от 0 до 10. Если каждое слагаемое не больше 10, то увеличить одно из них выше 10 нельзя. Найди максимальные два слагаемых и сложи.

012345678910

Две ветки: докажи границу разными способами

Задание 1. Назови наибольшее число, которое разрешено взять первым слагаемым.
Задание 2. Назови наибольшее число, которое разрешено взять вторым слагаемым.
Задание 3. Сложи два максимально возможных слагаемых. Какую верхнюю границу суммы получаем?
Задание 4. Может ли сумма быть ровно 20? Приведи один пример.
Задание 5. Может ли сумма быть 19? Приведи один пример из чисел до 10.
Задание 6. Может ли сумма быть 21? Объясни, какое ограничение пришлось бы нарушить.
Способ 1 — максимум.

Если каждое слагаемое не больше 10, то самое большое сложение — 10+10. Оно даёт 20. Значит, больше 20 получить нельзя.

Способ 2 — «нечем прибавить».

Чтобы получить 21, к одному из слагаемых пришлось бы добавить единицу сверх пары 10 и 10. Но тогда хотя бы одно число стало бы 11, а оно уже не относится к числам до 10.

Общий блок практики: возможно, невозможно, нужно проверить

Задание 7. 8+9=17. Это допустимый пример?
Задание 8. 10+10=20. Это допустимый максимум?
Задание 9. 10+11=21. Подходит ли пара к условию?
Задание 10. 7+7=14. Может ли такая сумма встретиться?
Задание 11. 9+10=19. Допустимо?
Задание 12. 6+15=21. Можно ли использовать такой пример?
Задание 13. 0+10=10. Разрешён ли ноль?
Задание 14. 10+0=10. Изменяет ли порядок вывод о границе?

Рассуждение и исправление готовых решений

Задание 15. Олег утверждает: «Сумма может быть 22, потому что 11+11=22». Найди ошибку именно в связи с условием, а не в сложении.
Задание 16. Мира говорит: «Раз 10+10=20, то все остальные разрешённые пары дают сумму не больше 20». Объясни, почему это рассуждение работает.
Задание 17. Готовое решение: «9+10=19, значит, наверное, можно получить и 21, если взять числа чуть больше». Исправь вывод так, чтобы он учитывал ограничение «до 10».
Задание 18. Ученик написал: «Максимальная сумма 18, потому что я взял 9+9». Найди первый неверный шаг и предложи пару, которая показывает более высокий допустимый результат.
Критерий сильного объяснения. Нужно назвать ограничение «каждое слагаемое от 0 до 10», указать максимальные слагаемые 10 и 10 и связать их с выводом «максимальная сумма равна 20». Просто написать «нет» без причины — недостаточно.

Применение: выбери утверждение, которое всегда верно

Задание 19. Выбери: А) любая сумма двух чисел до 10 меньше 20; Б) любая такая сумма не больше 20; В) любая такая сумма равна 20.
Задание 20. Если одно слагаемое равно 10, каким может быть второе, чтобы сумма оставалась допустимой по условию? Назови весь диапазон.
Задание 21. Найди все пары с первым слагаемым 10, которые дают суммы 18, 19 и 20.
Задание 22. Если сумма равна 20, какие два слагаемых до 10 могли быть использованы? Проверь, есть ли другой вариант кроме 10 и 10.
Задание 23. Если сумма равна 1, назови две допустимые пары с учётом порядка: одну с нулём первым, другую с нулём вторым.
Задание 24. Составь контрпример к неверному утверждению «сумма двух чисел до 10 всегда меньше 20».
Мини-проверка. 1) Самая большая разрешённая сумма? 2) 21 возможно или невозможно? 3) Какой пример опровергает фразу «сумма всегда меньше 20»? 4) Что нарушено в записи 12+8=20, если речь о двух числах до 10?

Ответы и пояснения

Старт: нет, сумма не может быть больше 20.

1 — 10. 2 — 10. 3 — 10+10=20, это верхняя граница. 4 — да: 10+10=20. 5 — да, например 9+10=19. 6 — нет: для 21 хотя бы одно слагаемое пришлось бы сделать больше 10.

7 — да. 8 — да, это допустимый максимум. 9 — нет: число 11 больше 10. 10 — да. 11 — да. 12 — нет: 15 больше 10. 13 — да. 14 — нет, от перестановки 10 и 0 ограничение и сумма не меняются.

15 — арифметика 11+11 верна, но оба числа нарушают условие «до 10». 16 — рассуждение верно: если уже взяты два максимальных разрешённых числа, увеличить сумму, не увеличив хотя бы одно слагаемое выше 10, невозможно. 17 — вывод исправляется так: «21 получить нельзя, потому что оба слагаемых должны оставаться не больше 10». 18 — 9 не максимальное разрешённое число; нужно взять 10+10=20.

19 — Б: любая сумма не больше 20. 20 — второе слагаемое может быть любым от 0 до 10. 21 — 10+8=18, 10+9=19, 10+10=20. 22 — только 10 и 10: если одно число меньше 10, второе пришлось бы сделать больше 10. 23 — 0+1 и 1+0. 24 — 10+10=20.

Мини-проверка: 1) 20; 2) невозможно; 3) 10+10=20; 4) первое слагаемое 12 выходит за предел «до 10».

Самопроверка: если в доказательстве нигде не названы максимальные разрешённые слагаемые, объяснение неполное. Если приведён пример с 11, 12 или большим числом, он не относится к условию задачи.

Почему это не просто один пример. Вывод относится ко всем парам, в которых каждое слагаемое не больше 10. Мы не перебираем каждую пару от 0+0 до 10+10. Вместо перебора используем границу: каждое слагаемое не превосходит 10, поэтому их сумма не превосходит 20. Это доступный первокласснику пример общего математического рассуждения.
Разобранный пример через максимум.

Хотим проверить число 21. Самое большое разрешённое первое слагаемое — 10. Самое большое второе — тоже 10. Вместе это 20. Чтобы перейти от 20 к 21, пришлось бы увеличить хотя бы одно слагаемое на 1, то есть получить 11. Но 11 уже больше 10 и нарушает условие. Поэтому 21 невозможно не потому, что мы «не нашли пример», а потому, что доказали верхнюю границу.

Разобранный пример для 19.

Число 19 меньше границы 20, но этого ещё недостаточно: нужно показать допустимую пару. Подходит 9+10=19. Оба числа находятся в диапазоне от 0 до 10, значит пример действительно относится к условию. Так различаются два вопроса: «не противоречит ли число границе?» и «существует ли подходящая пара?».

Как проверять ответы о невозможности.

Фраза «21 нельзя» становится доказательством только после указания причины. Для этого достаточно трёх шагов: назвать максимальное первое слагаемое 10; назвать максимальное второе 10; сложить 10+10=20 и сделать вывод, что никакая разрешённая пара не даст больше. Если ученик приводит 11+10=21, полезно не спорить с арифметикой: вычисление верно, но пример не удовлетворяет условию.

Обратная идея тоже полезна. Чтобы показать, что значение возможно, достаточно одного корректного примера. Для 18 это 8+10 или 9+9; для 20 — 10+10. Поэтому доказательство «возможно» и доказательство «невозможно» устроены по-разному: в первом случае нужен пример, во втором — правило, охватывающее все допустимые пары.

Работа с границей.

Число 20 — не запрет, а край допустимой области. Фраза «не больше 20» включает 20. Это важно для задания 19: утверждение «всегда меньше 20» неверно именно из-за пары 10+10. Слова «меньше» и «не больше» здесь нельзя менять местами.

Можно проверить соседние значения. Для 17 легко найти 7+10 или 8+9; для 18 — 8+10 или 9+9; для 19 — 9+10; для 20 — только 10+10, если порядок слагаемых не считать новым набором. А для 21 никакой пары нет. Так ученик видит, как при приближении к верхней границе число подходящих пар уменьшается.

Ещё одна проверка: если сумма уже равна 20, нельзя увеличить её на единицу, не увеличив хотя бы одно слагаемое. Но оба слагаемых уже достигли максимально разрешённого значения 10. Поэтому ограничение относится не к отдельному удачному примеру, а ко всей области допустимых чисел.

Для самопроверки удобно разделить карточки на два типа. В карточке «покажи, что возможно» нужен хотя бы один корректный пример из разрешённых чисел. В карточке «докажи, что невозможно» отдельного примера недостаточно: нужен общий довод через максимальные значения. Если ученик говорит «я не смог придумать 21», это ещё не доказательство. Если говорит «максимум 10+10=20, поэтому 21 потребовал бы числа больше 10», доказательство завершено.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым