Практикум «Как изменится площадь прямоугольника при увеличении одной стороны»: объясняем, решаем, проверяем — 3 класс
До и после. Типичная ошибка: «сторону увеличили на 3 см, значит площадь выросла на 3 см²». Так нельзя: площадь показывает количество квадратных единиц, а прибавка зависит ещё и от второй стороны. Улучшенный способ — представить добавившуюся полоску прямоугольника.
Содержание статьи6 разделовПоказатьСкрыть
1. Неудачный и улучшенный способы
Неудачно.
Прямоугольник 7 см × 4 см. Длину увеличили на 3 см. Запись «28 + 3 = 31 см²» неверна: число 3 имеет единицу см, а площадь — см².
Улучшенно.
Добавилась полоска 3 см × 4 см, её площадь 12 см². Было 28 см², стало 40 см². Проверка: 10 см × 4 см = 40 см².
Пример 1.
5 см × 6 см, длина +2 см. Добавка площади: 2·6=12 см².
Пример 2.
8 м × 3 м, ширина +4 м. Добавка: 8·4=32 м².
Пример 3.
40 мм × 2 см, длина +10 мм. Сначала удобно привести к одной единице: 2 см=20 мм. Добавка: 10·20=200 мм².
2. Сравни способы: полный пересчёт или площадь добавленной полоски
1.Прямоугольник 9 см × 5 см. Длину увеличили на 2 см. Найди увеличение площади способом «полоска». Затем проверь полным пересчётом.
2.Размеры 12 см × 4 см. Ширину увеличили на 3 см. Какой способ здесь короче? Найди новую площадь и изменение площади.
3.Прямоугольник 7 м × 6 м. Длину увеличили на 5 м. Найди только изменение площади, не вычисляя старую площадь.
4.Сторона 30 мм, другая сторона 2 см. Первую сторону увеличили на 10 мм. Выбери одну единицу и найди, на сколько изменилась площадь.
5.Прямоугольник 4 см × 8 см. Увеличили сторону 4 см на 1 см. Ученик получил увеличение 1 см². Объясни ошибку и исправь.
3. Практика «до → после»
6.Было 6 см × 5 см, стало 10 см × 5 см. Найди обе площади и разность.
7.Было 11 см × 3 см, стало 11 см × 8 см. Какая сторона изменилась и какова площадь добавившейся части?
8.Было 20 мм × 15 мм, стало 25 мм × 15 мм. Найди изменение площади в мм².
9.Было 9 м × 4 м. После увеличения ширины площадь стала 63 м². Какой стала ширина? На сколько метров её увеличили?
10.Было 8 см × 6 см. После увеличения длины площадь выросла на 18 см². На сколько сантиметров увеличили длину?
4. Самостоятельная серия с выбором стратегии
11.Прямоугольник 13 см × 7 см, длина +4 см. Найди новую площадь. Подчеркни в решении место, где используется неизменная сторона.
12.Прямоугольник 5 дм × 8 дм, ширина +2 дм. На сколько квадратных дециметров изменится площадь?
13.Прямоугольник 60 мм × 3 см, длина +20 мм. Найди новую площадь в мм². Сначала выполни нужный перевод единиц.
14.Прямоугольник 8 см × 50 мм, ширина увеличена на 10 мм. Найди изменение площади в см². Выбери удобный перевод.
15.Площадь была 48 см² при размерах 8 см × 6 см. Длину увеличили на 5 см. Найди новую площадь двумя способами и сравни ответы.
16.У прямоугольника вторая сторона 9 см. Первую увеличили на 6 см. Можно ли найти изменение площади, если исходная первая сторона неизвестна? Объясни.
5. Перенос навыка в ситуацию
17.Клумба 7 м × 4 м. Её удлинили на 3 м, ширина не менялась. На сколько квадратных метров увеличилась площадь клумбы?
18.Столешница 120 см × 60 см. Длину увеличили на 30 см. Найди новую площадь и площадь добавленной части.
19.Лист картона 40 см × 25 см расширили на 5 см по ширине. Какова площадь добавленной полосы? Какова новая площадь?
20.Площадка 9 м × 5 м должна стать на 18 м² больше за счёт увеличения только длины. На сколько метров надо увеличить длину? Проверь новым размером.
21.Ученик утверждает: «Если увеличить длину на 2 см, площадь всегда увеличится на 2 см²». Приведи конкретный прямоугольник, который опровергает утверждение, и вычисли изменение.
22.Мини-проверка: а) 6 см × 4 см, длина +3 см; б) 10 см × 2 см, ширина +5 см. Для каждого случая запиши только изменение площади и единицу.
6. Ответы и пояснения
1. Увеличение 2·5=10 см². Было 45 см², стало 55 см².
2. Удобна полоска: 12·3=36 см². Новая площадь 48+36=84 см².
3. 5·6=30 м².
4. 2 см=20 мм; изменение 10·20=200 мм².
5. Смешаны длина и площадь. Добавка равна 1 см · 8 см = 8 см².
6. 30 см² → 50 см²; разность 20 см².
7. Ширина 3 см → 8 см, изменение 5 см; полоска 11·5=55 см².
8. 5·15=75 мм².
9. Новая ширина 63:9=7 м; увеличение 7−4=3 м.
10. 18:6=3 см.
11. Новая длина 17 см; S=17·7=119 см². Неизменная сторона 7 см также определяет площадь добавленной полосы 4·7=28 см².
12. 5·2=10 дм².
13. 3 см=30 мм. Новая длина 80 мм, S=80·30=2400 мм².
14. 50 мм=5 см, увеличение 10 мм=1 см; изменение площади 8·1=8 см².
15. Способ 1: (8+5)·6=78 см². Способ 2: 48+5·6=78 см².
16. Да. Изменение площади равно 6·9=54 см²; исходная первая сторона не нужна.
17. 3·4=12 м².
18. Добавленная часть 30·60=1800 см²; новая площадь 150·60=9000 см².
19. Полоса 40·5=200 см²; новая площадь 40·30=1200 см².
20. Неизменная ширина 5 м; увеличение длины 18:5 нецелое 3,6 м. Для 3 класса, если используем целые метры, условие не подходит; поэтому правильный диагностический вывод: целым числом метров задачу решить нельзя. Если допускаются десятые, 3,6 м. Проверка: 12,6·5=63 м², было 45 м², прирост 18 м².
21. Например, 5 см × 4 см: увеличение длины на 2 см добавит 2·4=8 см², а не 2 см².
22. а) 3·4=12 см²; б) 10·5=50 см².
Проверка размерности. Длина выражается в см, мм, м; площадь — в см², мм², м². Нельзя прибавлять «3 см» к «28 см²». Сначала вычисли площадь добавленной фигуры, и только затем складывай площади.
Как объяснить изменение площади.
Представь, что к исходному прямоугольнику приставили прямоугольную полоску. Одна сторона полоски равна тому, на сколько удлинили исходную сторону, а вторая — неизменной стороне исходного прямоугольника. Поэтому изменение площади — произведение этих двух величин. Такой рисунок-модель помогает не смешивать сантиметры с квадратными сантиметрами.
Дополнительная модель 1.
Если неизменная сторона равна 4 см, а другую сторону увеличили на 2 см, добавленная полоска имеет размеры 4 см × 2 см и площадь 8 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 2.
Если неизменная сторона равна 5 см, а другую сторону увеличили на 3 см, добавленная полоска имеет размеры 5 см × 3 см и площадь 15 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 3.
Если неизменная сторона равна 6 см, а другую сторону увеличили на 4 см, добавленная полоска имеет размеры 6 см × 4 см и площадь 24 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 4.
Если неизменная сторона равна 7 см, а другую сторону увеличили на 5 см, добавленная полоска имеет размеры 7 см × 5 см и площадь 35 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 5.
Если неизменная сторона равна 8 см, а другую сторону увеличили на 6 см, добавленная полоска имеет размеры 8 см × 6 см и площадь 48 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 6.
Если неизменная сторона равна 9 см, а другую сторону увеличили на 7 см, добавленная полоска имеет размеры 9 см × 7 см и площадь 63 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 7.
Если неизменная сторона равна 10 см, а другую сторону увеличили на 8 см, добавленная полоска имеет размеры 10 см × 8 см и площадь 80 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 8.
Если неизменная сторона равна 11 см, а другую сторону увеличили на 9 см, добавленная полоска имеет размеры 11 см × 9 см и площадь 99 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 9.
Если неизменная сторона равна 12 см, а другую сторону увеличили на 10 см, добавленная полоска имеет размеры 12 см × 10 см и площадь 120 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Дополнительная модель 10.
Если неизменная сторона равна 13 см, а другую сторону увеличили на 11 см, добавленная полоска имеет размеры 13 см × 11 см и площадь 143 см². Этот результат не зависит от исходной длины изменяемой стороны. Проверка выполняется разностью новой и старой площадей.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.
