Задачи и рассуждения по теме «Построй прямоугольник по координатам четырёх вершин на сетке» для 3 класса

Чтобы построить прямоугольник по координатам четырёх вершин, недостаточно просто поставить четыре точки. Нужно проверить, что противоположные стороны идут по одинаковым горизонтальным и вертикальным линиям, а соседние стороны встречаются под прямым углом. На сетке это удобно делать через одинаковые x и одинаковые y.

Содержание статьи6 разделов

Подготовка 1 — как координаты показывают стороны прямоугольника

7
6
5 D C
4
3
2 A B
1
0
y/x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x читаем по нижней горизонтальной шкале, y — по левой вертикальной. Координаты записываем в порядке (x; y).

Разобранный пример 1. A(2; 2) и B(6; 2) имеют одинаковый y = 2, значит AB горизонтальна. Её длина по клеткам: 6 − 2 = 4.

Разобранный пример 2. B(6; 2) и C(6; 5) имеют одинаковый x = 6, значит BC вертикальна. Её длина: 5 − 2 = 3.

Разобранный пример 3. Для полного прямоугольника нужны ещё C(6; 5) и D(2; 5). Верхняя сторона CD тоже длиной 4, левая AD длиной 3. Получается прямоугольник 4 × 3 клетки.

Подготовка 2 — отдельные навыки перед центральной задачей

горизонталь

У концов горизонтальной стороны одинаковая y.

вертикаль

У концов вертикальной стороны одинаковая x.

  1. У точек P(1; 1) и Q(5; 1) какая координата одинакова и как направлен отрезок PQ?
  2. У Q(5; 1) и R(5; 4) какая координата одинакова и как направлен QR?
  3. Если вершины имеют x = 1 и x = 5, чему равна горизонтальная длина прямоугольника в клетках?
  4. Если уровни сторон y = 1 и y = 4, чему равна вертикальная длина?
  5. Какая четвёртая вершина дополняет P(1; 1), Q(5; 1), R(5; 4) до прямоугольника с сторонами по линиям сетки?
  6. Проверь набор (1; 1), (5; 1), (5; 4), (1; 4): какие две пары точек имеют одинаковый x?

Центральная задача — исследуем один прямоугольник со всех сторон

Главная модель страницы. Все десять вопросов ниже относятся к одной и той же сетке; числа в заданиях точно соответствуют отмеченным точкам.
7
6 D C
5
4 X
3
2 A B
1
0
y/x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x читаем по нижней горизонтальной шкале, y — по левой вертикальной. Координаты записываем в порядке (x; y).

  1. Запиши координаты всех четырёх вершин прямоугольника ABCD по схеме.
  2. Найди длину AB в клетках.
  3. Найди длину BC в клетках.
  4. Сравни AB и CD. Почему их длины должны совпасть?
  5. Сравни BC и AD. Почему их длины должны совпасть?
  6. Точка X(4; 4) находится внутри прямоугольника. На сколько клеток она правее левой стороны x = 1?
  7. На сколько клеток X ниже верхней стороны y = 6?
  8. Ученик построил вместо D(1; 6) точку D(2; 6). Какая сторона перестанет быть вертикальной?
  9. Как исправить только одну координату ошибочной D(2; 6)?
  10. Объясни двумя признаками, почему исходные четыре точки образуют прямоугольник со сторонами по линиям сетки.

Перенос навыка — новые прямоугольники и одна ловушка

  1. Построй мысленно прямоугольник E(2; 1), F(6; 1), G(6; 5), H(2; 5). Каковы длины его сторон?
  2. Для вершин K(0; 2), L(3; 2), M(3; 7), N(0; 7) найди горизонтальную и вертикальную длину.
  3. Набор (2; 2), (6; 2), (6; 5), (3; 5) — прямоугольник со сторонами по линиям сетки? Найди нарушение.
  4. Набор (1; 1), (5; 1), (5; 4), (1; 4) записан в другом порядке: (5; 4), (1; 1), (1; 4), (5; 1). Меняет ли порядок перечисления сами вершины фигуры?
  5. Три вершины: A(3; 2), B(8; 2), C(8; 6). Найди возможную четвёртую вершину D.
  6. Объясни, как найти четвёртую вершину, не рисуя всю фигуру: какие x и y нужно совместить?

Альтернативная проверка и мини-контроль

Два пути проверки: 1) сравнить координаты соседних вершин; 2) вычислить горизонтальную и вертикальную длины по разностям. Хорошее решение умеет использовать оба.
  1. Для A(2; 3), B(7; 3), C(7; 6), D(2; 6) сначала найди стороны через разности координат.
  2. Проверь тот же прямоугольник другим способом: назови пары одинаковых x и одинаковых y.
  3. Ученик говорит, что точки (2; 3), (7; 3), (7; 6), (2; 7) «почти прямоугольник». Какая конкретная координата ломает фигуру?
  4. Исправь набор из предыдущего пункта изменением только одного числа.
  5. Мини-проверка: можно ли считать квадрат частным случаем прямоугольника в этих заданиях, если все стороны лежат по линиям сетки? Объясни для фигуры (1; 1), (4; 1), (4; 4), (1; 4).
  6. Сформулируй самопроверку из двух вопросов перед тем, как соединять четыре вершины.
Почему проверяем пары координат.

У прямоугольника со сторонами по линиям сетки две вертикальные стороны задаются двумя значениями x, а две горизонтальные — двумя значениями y. Поэтому четыре вершины образуются как все сочетания этих двух x и двух y. Например, если x равны 2 и 6, а y равны 1 и 5, вершины должны быть (2; 1), (6; 1), (6; 5), (2; 5).

Такой взгляд помогает находить ошибку без полного рисунка: достаточно увидеть, что одно из четырёх нужных сочетаний отсутствует или заменено другим. Длины тоже проверяются просто: горизонтальная сторона равна разности двух значений x, вертикальная — разности двух значений y. В наших заданиях все длины считаются в клетках сетки.

Как проверять прямоугольник без догадок.

Для прямоугольника со сторонами по линиям сетки достаточно выделить два значения x и два значения y. Четыре вершины должны представлять все четыре сочетания: (x₁; y₁), (x₂; y₁), (x₂; y₂), (x₁; y₂). Если одно сочетание заменено, например верхняя левая вершина имеет другой x, соответствующая боковая сторона перестаёт быть вертикальной и фигура уже не соответствует заданному прямоугольнику.

Длины сторон удобно вычислять не пересчётом клеток на глаз, а разностью координат. Для горизонтальной стороны y у концов одинаковы, поэтому длина равна разности x. Для вертикальной стороны x одинаковы, поэтому берём разность y. Затем сравниваем противоположные стороны: у корректного прямоугольника они получаются равными. Такой двойной контроль помогает заметить ошибку и в координатах, и в подсчёте клеток.

Если известны три последовательные вершины A, B, C, четвёртую часто можно восстановить переносом нужных координат. Для A(3; 2), B(8; 2), C(8; 6) у будущей D должна быть та же x, что у A, потому что AD вертикальна, и та же y, что у C, потому что CD горизонтальна. Значит, D(3; 6). Проверка по парам одинаковых x и y подтверждает результат.

Порядок перечисления вершин сам по себе не меняет набор точек, но влияет на то, как удобно соединять их в контур. Если четыре правильные вершины записаны вперемешку, сначала сгруппируй точки по одинаковым y для горизонтальных сторон и по одинаковым x для вертикальных. После этого можно восстановить обход вокруг фигуры без пересекающихся отрезков.

Квадрат в таких заданиях подходит под признаки прямоугольника: его стороны также могут идти по линиям сетки, противоположные стороны равны, а соседние образуют прямые углы. Разница лишь в том, что горизонтальная и вертикальная длины у квадрата тоже равны. Поэтому при проверке нельзя отвергать фигуру только из-за одинаковых длины и ширины.

Ответы и пояснения

В задачах на построение здесь рассматриваются прямоугольники со сторонами по линиям сетки. Поэтому проверка через одинаковые x и y достаточна и понятна для 3 класса.

1. Одинаковая y = 1; PQ горизонтален.
2. Одинаковая x = 5; QR вертикален.
3. 5 − 1 = 4 клетки.
4. 4 − 1 = 3 клетки.
5. (1; 4).
6. Пары x: P и D имеют x = 1; Q и R имеют x = 5.
7. A(1; 2), B(7; 2), C(7; 6), D(1; 6).
8. AB = 7 − 1 = 6 клеток.
9. BC = 6 − 2 = 4 клетки.
10. AB = CD = 6: противоположные горизонтальные стороны имеют одинаковые крайние x.
11. BC = AD = 4: противоположные вертикальные стороны лежат между теми же уровнями y.
12. 4 − 1 = 3 клетки.
13. 6 − 4 = 2 клетки.
14. AD перестанет быть вертикальной, потому что у A x = 1, а у ошибочной D x = 2.
15. Исправить x у D: D(1; 6).
16. У A и B одинаковая y, у C и D одинаковая y; у A и D одинаковая x, у B и C одинаковая x. Значит, стороны горизонтальны и вертикальны попарно.
17. Горизонтальная 6 − 2 = 4, вертикальная 5 − 1 = 4; это квадрат, который также является прямоугольником.
18. Горизонтальная 3 − 0 = 3, вертикальная 7 − 2 = 5.
19. Нет. Верхняя левая точка должна иметь x = 2, а дана (3; 5), поэтому левая сторона не вертикальна.
20. Нет, если соединить те же четыре точки в правильном обходе; набор вершин тот же.
21. D(3; 6).
22. Берём x от A (3) и y от C (6), получаем D(3; 6).
23. Горизонтальная длина 7 − 2 = 5, вертикальная 6 − 3 = 3.
24. Одинаковые x: A,D = 2 и B,C = 7; одинаковые y: A,B = 3 и C,D = 6.
25. Последняя y = 7; для верхней стороны она должна быть 6.
26. Заменить (2; 7) на (2; 6).
27. Да. У фигуры стороны 3 и 3 клетки, противоположные стороны параллельны линиям сетки и углы прямые; квадрат удовлетворяет признакам прямоугольника.
28. Например: «Есть ли у двух вертикальных пар одинаковые x?» и «Есть ли у двух горизонтальных пар одинаковые y?»
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым