Восстановление одного значения по известному среднему и остальным данным — большая подборка разноформатных заданий для 4 класса
Стартовая задача. Среднее трёх чисел равно 12. Два числа — 9 и 15. Найди третье. Если решение сразу понятно, иди по маршруту «Уверенно». Если хочется опоры, сначала пройди маршрут «С подсказкой». Обе ветки сходятся в общей практике.
Содержание статьи7 разделов
Старт и два маршрута
Если уверенно.
1) Найди сумму трёх чисел: 12 × 3 = 36.
2) Вычти известные: 36 − 9 − 15 = 12.
Ответ: 12.
1) Найди сумму трёх чисел: 12 × 3 = 36.
2) Вычти известные: 36 − 9 − 15 = 12.
Ответ: 12.
Если нужна подсказка.
Среднее × количество значений = общий итог. Затем из общего итога вычитаем все известные значения. Это обратная задача к нахождению среднего.
Среднее × количество значений = общий итог. Затем из общего итога вычитаем все известные значения. Это обратная задача к нахождению среднего.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Пример 2. Среднее 4 чисел 10, известны 6, 9, 12. Общая сумма 40; неизвестное 40 − 27 = 13.
Пример 3. Среднее 3 чисел 20, известны 18 и 25. Общая сумма 60; неизвестное 17.
Несплошной источник: таблица «Среднее и пропуск»
| Набор | Среднее | Сколько значений | Известно 1 | Известно 2 | Остальные |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 12 | 3 | 9 | 15 | ? |
| B | 16 | 3 | 14 | 20 | ? |
| C | 10 | 4 | 6 | 9 | 12 и ? |
| D | 25 | 4 | 22 | 28 | 24 и ? |
1. В наборе A найди пропущенное значение.
2. В наборе B найди пропущенное значение.
3. В наборе C известны 6, 9, 12 и x. Найди x.
4. В наборе D известны 22, 28, 24 и x. Найди x.
Маршрут «Уверенно»: восстанови без подсказок
5. Среднее трёх чисел равно 14. Два числа — 12 и 16. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
6. Среднее трёх чисел равно 18. Два числа — 17 и 20. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
7. Среднее трёх чисел равно 24. Два числа — 21 и 27. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
8. Среднее трёх чисел равно 30. Два числа — 26 и 31. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
9. Среднее трёх чисел равно 15. Два числа — 9 и 18. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
10. Среднее трёх чисел равно 22. Два числа — 19 и 23. Найди третье и проверь повторным вычислением среднего.
Маршрут «С подсказкой»: восстанови шаги
Среднее × количество
Получить общий итог
Вычесть известные
Проверить среднее
11. Среднее четырёх чисел 12. Известны 8, 10, 13. Найди четвёртое.
12. Среднее четырёх чисел 20. Известны 16, 18, 22. Найди четвёртое.
13. Среднее пяти чисел 8. Известны 5, 7, 9, 10. Найди пятое.
14. Среднее пяти чисел 14. Известны 10, 12, 16, 18. Найди пятое.
Общая практика: ошибки, объяснение, применение
15. Ученик: «среднее 3 чисел 14, значит их сумма 14». Исправь первый шаг.
16. Среднее 4 чисел 15. Известны 12, 14, 16. Ученик получил x = 60 − 42 = 18. Проверь.
17. Среднее 3 чисел 11; числа 8, 12, x. Ученик вычислил x = 33 − 8 = 25. Где ошибка?
18. Объясни, почему сначала нельзя просто вычесть известные числа из среднего.
19. За три дня среднее число прочитанных страниц — 20. В первые два дня прочитали 18 и 24 страницы. Сколько в третий?
20. За четыре попытки средний результат — 12 баллов. Три результата: 10, 13, 15. Найди четвёртый.
Самодиагностика ошибки. Если ответ не совпал с ключом, сначала определи тип ошибки: (1) неверно сложены данные; (2) сумма поделена не на количество значений; (3) перепутано среднее и одно из наблюдений; (4) при восстановлении неизвестного не найден общий итог; (5) вывод сделан без проверки исходной таблицы. Запиши тип ошибки, исправь только ошибочный шаг и повтори проверку обратным действием.
Итог и мини-проверка
21. Среднее 5 чисел 18. Четыре числа: 14, 16, 20, 22. Найди пятое.
22. Придумай задачу на восстановление одного значения, где среднее равно 10 и всего три значения.
23. Как проверить найденное неизвестное независимо?
24. Может ли неизвестное оказаться больше среднего? Приведи корректный пример.
Ответы и пояснения
1. 12: общий итог 12 × 3 = 36; 36 − 9 − 15 = 12.
2. 14: 16 × 3 = 48; 48 − 14 − 20 = 14.
3. 13: общий итог 10 × 4 = 40; 40 − 6 − 9 − 12 = 13.
4. 26: 25 × 4 = 100; 100 − 22 − 28 − 24 = 26.
5. 14. Общая сумма 14 × 3 = 42; 42 − 12 − 16 = 14. Проверка: (12 + 16 + 14) : 3 = 14.
6. 17. Общая сумма 18 × 3 = 54; 54 − 17 − 20 = 17. Проверка: (17 + 20 + 17) : 3 = 18.
7. 24. Общая сумма 24 × 3 = 72; 72 − 21 − 27 = 24. Проверка: (21 + 27 + 24) : 3 = 24.
8. 33. Общая сумма 30 × 3 = 90; 90 − 26 − 31 = 33. Проверка: (26 + 31 + 33) : 3 = 30.
9. 18. Общая сумма 15 × 3 = 45; 45 − 9 − 18 = 18. Проверка: (9 + 18 + 18) : 3 = 15.
10. 24. Общая сумма 22 × 3 = 66; 66 − 19 − 23 = 24. Проверка: (19 + 23 + 24) : 3 = 22.
11. 17: общий итог 48; сумма известных 31; 48 − 31 = 17.
12. 24: 80 − 56 = 24.
13. 9: 40 − 31 = 9.
14. 14: 70 − 56 = 14.
15. Сумма должна быть 14 × 3 = 42.
16. Верно: сумма известных 42, общий итог 60, x = 18.
17. Не вычтено второе известное число 12. Правильно x = 33 − 8 − 12 = 13.
18. Среднее — не общая сумма. Сначала нужно восстановить общий итог: среднее × количество значений.
19. 18 страниц: общий итог 60; 60 − 18 − 24 = 18.
20. 10 баллов: 48 − 38 = 10.
21. 18: общий итог 90; известная сумма 72; 90 − 72 = 18.
22. Например: среднее трёх результатов 10, два результата 8 и 11. Третий равен 11. Допустимы другие корректные данные.
23. Подставить его в исходный набор, сложить все значения и снова разделить сумму на их количество.
24. Да. Например среднее 10 у чисел 6, 9, 15; неизвестное 15 больше среднего.
Главная связь. Нахождение среднего и восстановление неизвестного — обратные действия. При прямой задаче мы из общей суммы получаем среднее делением. При обратной сначала возвращаем общую сумму умножением среднего на количество значений, а затем вычитаем известные части.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.