Математический тренажёр для 4 класса: Сравнение двух наборов данных по среднему значению
Исследование начинается с данных. Ниже результаты пяти попыток трёх команд. Не делай вывод по одному самому большому числу: сравнивать наборы будем по среднему значению и отдельно проверять, что именно показывает среднее.
Содержание статьи6 разделов
Таблица наблюдений: сначала прочитай данные
| Набор | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Команда A | 8 | 12 | 10 | 14 | 6 |
| Команда B | 9 | 9 | 12 | 12 | 8 |
| Команда C | 7 | 11 | 15 | 9 | 13 |
Пример 1. A: сумма 8 + 12 + 10 + 14 + 6 = 50; среднее 50 : 5 = 10.
Пример 2. B: сумма 50; среднее тоже 10. Хотя отдельные результаты отличаются, средние равны.
Пример 3. C: сумма 55; среднее 11. По среднему C выше A и B на 1.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
Полезная проверка перед ключом. Перечитай условие и подчеркни все значения, которые действительно входят в набор. Сначала оцени возможный диапазон ответа: среднее не должно быть меньше минимума или больше максимума. Затем проверь сумму отдельным пересчётом слева направо и справа налево. Если восстанавливаешь пропуск, сначала вычисли общий итог как «среднее × количество значений», а после нахождения неизвестного снова посчитай среднее исходным способом. В задаче с единицами измерения сохрани ту же единицу в ответе. Если два набора сравниваются между собой, не заменяй среднее максимальным, минимальным или последним наблюдением: это разные характеристики данных.
1. Найди среднее команды A.
2. Найди среднее команды B.
3. Найди среднее команды C.
4. Какие две команды имеют одинаковое среднее?
5. На сколько среднее C больше среднего A?
6. Можно ли по среднему 10 утверждать, что каждая попытка A равна 10?
Ищи закономерность: что сохраняет среднее
Набор D: 8, 10, 12. Среднее 10.
Набор E: 4, 10, 16. Среднее тоже 10.
7. Почему средние D и E равны, хотя разброс значений разный?
8. Что произойдёт со средним D, если к каждому значению прибавить 2?
9. Что произойдёт со средним E, если из каждого значения вычесть 1?
10. Составь другой набор из трёх чисел со средним 10.
Сформулируй правило и проверь контрпримером
Правило наблюдения. Чтобы сравнить наборы одинакового смысла по среднему, найди сумму каждого набора, раздели на число значений и только затем сравни средние. Самое большое отдельное значение не определяет среднее.
11. У набора X значения 20, 2, 2; у Y — 9, 9, 9. Какой набор имеет большее максимальное значение?
12. Какой набор X или Y имеет большее среднее?
13. Какой вывод опровергают задания 11–12?
14. Ученик сравнил A и C только по первой попытке: 8 > 7, значит A лучше по среднему. Найди ошибку.
Самодиагностика ошибки. Если ответ не совпал с ключом, сначала определи тип ошибки: (1) неверно сложены данные; (2) сумма поделена не на количество значений; (3) перепутано среднее и одно из наблюдений; (4) при восстановлении неизвестного не найден общий итог; (5) вывод сделан без проверки исходной таблицы. Запиши тип ошибки, исправь только ошибочный шаг и повтори проверку обратным действием.
Применение: сравни новые наборы
| Набор | Результаты |
|---|---|
| F | 10, 12, 14 |
| G | 9, 12, 15 |
| H | 8, 14, 17 |
| K | 11, 11, 11 |
15. Сравни средние F и G.
16. Найди среднее H.
17. Сравни H и K по среднему.
18. Какой набор из F, G, H, K имеет наибольшее среднее?
19. Если к каждому значению K прибавить 2, каким станет среднее?
20. Объясни, почему F и G могут иметь одинаковое среднее при разных значениях.
Мини-проверка и вывод исследователя
21. Набор P: 6, 9, 12; Q: 8, 8, 11. Сравни средние.
22. Набор R: 12, 15, 18; S: 10, 16, 19. Сравни средние.
23. Придумай два разных набора из трёх чисел с одинаковым средним 8.
24. Назови два действия, которыми проверишь вывод «среднее набора A больше среднего набора B».
Ответы и пояснения
1. 10.
2. 10.
3. 11.
4. A и B, по 10.
5. На 1.
6. Нет. Среднее обобщает набор; значения A равны 8, 12, 10, 14, 6.
7. У обоих наборов сумма 30 и по 3 значения; 30 : 3 = 10.
8. Среднее станет 12.
9. Среднее станет 9.
10. Например 7, 10, 13; сумма 30. Возможны другие корректные варианты.
11. X: максимум 20.
12. Y: среднее X = 24 : 3 = 8, среднее Y = 27 : 3 = 9.
13. Вывод «набор с большим максимумом обязательно имеет большее среднее» неверен.
14. Среднее учитывает все пять значений. A имеет среднее 10, C — 11; вывод ученика неверен.
15. Они равны 12: F сумма 36, G сумма 36.
16. 13: (8 + 14 + 17) : 3 = 39 : 3 = 13.
17. H выше: 13 > 11.
18. H, среднее 13.
19. 13.
20. У них одинаковая сумма 36 и одинаковое количество значений 3.
21. Оба средних равны 9: суммы по 27.
22. Оба средних равны 15: суммы по 45.
23. Например 6, 8, 10 и 4, 8, 12. У каждого сумма 24.
24. Отдельно пересчитать суммы и средние обоих наборов; затем сравнить полученные средние и убедиться, что использовано правильное число наблюдений.
Вывод исследователя. Среднее удобно для сравнения двух наборов, когда данные имеют одинаковый смысл и единицы. Но одинаковое среднее не делает сами наборы одинаковыми: один набор может быть ровным, другой — очень разным по отдельным значениям. Поэтому в выводе полезно разделять «что говорит среднее» и «чего оно не говорит».
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Как объяснить решение другому ученику. Назови, что именно усредняется, перечисли использованные данные, объясни смысл суммы и делителя, а затем сделай короткую проверку. В задачах на сравнение отдельно скажи, почему сравниваются именно средние. В задачах на поиск ошибки укажи первый неверный шаг, а не только конечный неверный ответ. Такой порядок помогает отличить вычислительную ошибку от ошибки в понимании условия.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.