Математическая мастерская для 4 класса: Сравнение дробей с одинаковыми числителями по наглядной модели
Работаем только с одним и тем же целым. Во всех полосках ниже целое — лента одинаковой длины. Когда числители равны, сравнение показывает размер каждой доли: чем на меньшее число равных частей поделили целое, тем каждая часть крупнее. Поэтому при одинаковом числителе меньший знаменатель даёт большую дробь.
Содержание статьи9 разделов
Три разобранных примера перед самостоятельной работой
Пример 1. Сравним 3/4 и 3/8. Числитель одинаковый: 3. Знаменатели 4 и 8. Меньший знаменатель означает более крупные доли, поэтому 3/4 > 3/8. Проверка моделью: у обеих полосок длина одинакова, а отмечено по 3 частей.
Пример 2. Сравним 2/5 и 2/7. Числитель одинаковый: 2. Знаменатели 5 и 7. Меньший знаменатель означает более крупные доли, поэтому 2/5 > 2/7. Проверка моделью: у обеих полосок длина одинакова, а отмечено по 2 частей.
Пример 3. Сравним 5/6 и 5/9. Числитель одинаковый: 5. Знаменатели 6 и 9. Меньший знаменатель означает более крупные доли, поэтому 5/6 > 5/9. Проверка моделью: у обеих полосок длина одинакова, а отмечено по 5 частей.
Модель 3/4
Одно и то же целое разделено на 4 равных частей; отмечено 3.
Модель 3/8
Одно и то же целое разделено на 8 равных частей; отмечено 3.
Блок 1. Распознай большее по полоске
1. Сравни 2/3 и 2/6. Сначала назови, какая полоска должна иметь более крупные равные части, затем поставь знак.
2. Сравни 4/5 и 4/8. Сначала назови, какая полоска должна иметь более крупные равные части, затем поставь знак.
3. Сравни 3/7 и 3/10. Сначала назови, какая полоска должна иметь более крупные равные части, затем поставь знак.
4. Сравни 5/7 и 5/9. Сначала назови, какая полоска должна иметь более крупные равные части, затем поставь знак.
4/5
Одно и то же целое разделено на 5 равных частей; отмечено 4.
4/8
Одно и то же целое разделено на 8 равных частей; отмечено 4.
Блок 2. Сетка, знак и короткое объяснение
5. Поставь знак между 3/5 и 3/9 и объясни решение одним-двумя предложениями, не переводя дроби в десятичные.
6. Поставь знак между 6/7 и 6/10 и объясни решение одним-двумя предложениями, не переводя дроби в десятичные.
7. Поставь знак между 2/8 и 2/11 и объясни решение одним-двумя предложениями, не переводя дроби в десятичные.
8. Поставь знак между 4/6 и 4/9 и объясни решение одним-двумя предложениями, не переводя дроби в десятичные.
Блок 3. Числовая прямая и порядок
Числовая прямая от 0 до 1
013/43/53/63/8
Все точки относятся к одной единице длины.
- 9. Расположи 3/4, 3/6 и 3/8 по убыванию.
- 10. Какая из дробей 3/5 и 3/8 ближе к 1? Объясни по расположению на прямой.
- 11. Расположи 3/4, 3/5, 3/6, 3/8 по убыванию и назови две соседние с 3/6 дроби.
- 12. Верно ли утверждение: «чем больше знаменатель при том же числителе, тем точка правее»? Исправь его.
Блок 4. Применение: одинаковое целое в задаче
13. Две одинаковые шоколадки. Маша съела 4/6 первой, а Олег 4/9 второй. Кто съел большую часть шоколадки?
14. Две ленты одинаковой длины. От первой использовали 5/8, от второй 5/12. Какая использованная часть длиннее?
15. Две одинаковые бутылки заполнены соответственно на 3/4 и 3/7 объёма. В какой больше воды?
16. Саша сравнил 2/3 большой пиццы и 2/5 маленькой и заявил, что первая порция обязательно больше. Можно ли так заключить?
Большой блок рассуждения: найди и исправь ошибку
17. Ученик написал: 5/7 < 5/10, потому что 7 < 10. Найди первый неверный вывод и перепиши решение.
18. Ученик сравнил 3/4 от полоски 20 см и 3/6 от полоски 60 см и решил, что 3/4 всегда даёт большую длину. Найди первый неверный вывод и перепиши решение.
19. Объясни, почему 4/5 > 4/11, используя слова «равные части» и «одно целое».
20. Придумай две правильные дроби с числителем 6 так, чтобы первая была больше второй.
21. Подбери знаменатель: 7/□ < 7/10, причём дробь должна быть правильной.
22. Подбери знаменатель: 5/□ > 5/9 и дробь должна быть правильной.
Самопроверка и мини-проверка
Шаг 1. Убедись, что сравниваются части одного и того же целого или одинаковых целых.
Шаг 2. Проверь, что числители действительно одинаковые.
Шаг 3. Сравни знаменатели: меньший знаменатель означает большую дробь.
Шаг 4. Если это задача, вернись к смыслу: длина, масса или объём относятся к одинаковым целым?
23. Сравни 8/9 и 8/12.
24. Что больше: 2/7 или 2/5? Объясни.
Ответы и пояснения
1. 2/3 > 2/6. При одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем.
2. 4/5 > 4/8. При одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем.
3. 3/7 > 3/10. При одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем.
4. 5/7 > 5/9. При одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем.
5. 3/5 > 3/9. Сильное объяснение называет одинаковый числитель и связывает меньший знаменатель с большей долей целого.
6. 6/7 > 6/10. Сильное объяснение называет одинаковый числитель и связывает меньший знаменатель с большей долей целого.
7. 2/8 > 2/11. Сильное объяснение называет одинаковый числитель и связывает меньший знаменатель с большей долей целого.
8. 4/6 > 4/9. Сильное объяснение называет одинаковый числитель и связывает меньший знаменатель с большей долей целого.
9. 3/4 > 3/6 > 3/8.
10. 3/5 ближе к 1, потому что 3/5 > 3/8 и обе дроби меньше 1.
11. 3/4 > 3/5 > 3/6 > 3/8; соседние с 3/6 дроби — 3/5 и 3/8.
12. Неверно. При одинаковом числителе больший знаменатель даёт меньшую дробь, поэтому точка смещается левее.
13. Маша: 4/6 > 4/9, потому что шоколадки одинаковые, числитель 4 одинаков, а 6 < 9.
14. 5/8 длиннее 5/12; сравнение допустимо, потому что целые — ленты одинаковой длины.
15. В бутылке с 3/4: 3/4 > 3/7.
16. Нет. Целые разные по размеру; одного сравнения дробей недостаточно. Нужны размеры пицц или условие, что они одинаковые.
17. Неверно: при одинаковом числителе знак между знаменателями работает наоборот. 5/7 > 5/10.
18. Как дроби одного целого 3/4 > 3/6, но длины здесь равны 15 см и 30 см; разные целые меняют практический результат.
19. Одно и то же целое в первом случае разделено на 5 равных частей, во втором — на 11. Пятая доля крупнее одиннадцатой, а взято по 4 части, поэтому 4/5 > 4/11.
20. Например 6/7 > 6/10. Подходит любая пара правильных дробей с одинаковым числителем 6, где знаменатель первой меньше знаменателя второй и оба знаменателя больше 6.
21. Например 11: 7/11 < 7/10. Подойдёт любой знаменатель больше 10.
22. Например 6: 5/6 > 5/9. Подойдут знаменатели 6, 7 или 8.
23. 8/9 > 8/12.
24. 2/5 > 2/7: при одинаковом числителе 2 меньший знаменатель 5 даёт большую дробь.
Критерий сильного объяснения. Ученик не просто пишет знак, а называет три основания: целое одинаковое; числитель одинаковый; меньший знаменатель означает более крупные доли. Если целые разного размера, нужно отдельно сказать, что сравнение дробей не гарантирует сравнение реальных длин, масс или площадей.
Дополнительная стратегия самопроверки
Проверка смыслом. Перед знаком сравнения проговори знаменатель словами: пятые, восьмые, десятые. Чем больше равных частей получилось из одного целого, тем меньше одна такая часть. Этот приём особенно полезен, когда механическое сравнение чисел в знаменателях провоцирует неверный знак.
Как исправлять ошибку самостоятельно. Не стирай весь ответ сразу. Отметь первый неверный шаг, назови его тип и только затем перепиши продолжение. Для этой темы типы ошибок обычно такие: разные целые; разные числители; неверное направление знака; перепутан порядок по возрастанию; неверно понята близость к единице.
Независимая проверка. Если сомневаешься, нарисуй две полоски одинаковой длины или вообрази общую числовую прямую от 0 до 1. Модель не заменяет правило, а проверяет его смысл: большая дробь должна занимать большую часть того же целого и находиться правее на общей шкале.
Речевой шаблон сильного ответа. «Целое одинаковое, числители равны. Первое целое разделено на меньшее число равных частей, поэтому каждая такая часть крупнее. Взято одинаковое число частей, следовательно первая дробь больше». Этот шаблон можно сокращать, но логические звенья должны сохраняться.
Контроль после решения. Посмотри на знаменатели ещё раз. Если ты записал дроби по возрастанию, знаменатели при одинаковом числителе должны идти в обратном направлении. Если выбирал дробь ближе к 1, выбранная дробь должна одновременно быть большей среди сравниваемых правильных дробей.
Контроль после решения. Посмотри на знаменатели ещё раз. Если ты записал дроби по возрастанию, знаменатели при одинаковом числителе должны идти в обратном направлении. Если выбирал дробь ближе к 1, выбранная дробь должна одновременно быть большей среди сравниваемых правильных дробей.
Проверка смыслом. Перед знаком сравнения проговори знаменатель словами: пятые, восьмые, десятые. Чем больше равных частей получилось из одного целого, тем меньше одна такая часть. Этот приём особенно полезен, когда механическое сравнение чисел в знаменателях провоцирует неверный знак.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.