Мини-курс в заданиях: Задача на площадь и стоимость покрытия прямоугольной площадки — 4 класс
В задачах о покрытии площадки нужно связать геометрию и стоимость. Сначала находят площадь прямоугольника, затем стоимость покрытия по цене за 1 м². Здесь цена всегда относится именно к одному квадратному метру, а размеры площадки даны в метрах.
Содержание статьи10 разделов
Подготовка навыка: площадь и цена за квадратный метр
| Материал | Цена за 1 м² |
|---|---|
| Плитка A | 3200 тг |
| Плитка B | 2800 тг |
| Резиновое покрытие | 3500 тг |
| Газонное покрытие | 2400 тг |
- Найди площадь площадки 7 м × 3 м.
- Сколько стоит покрыть её плиткой A?
- Найди площадь площадки 9 м × 4 м.
- Сколько стоит покрыть её газонным покрытием?
- Какой материал из таблицы самый дешёвый за 1 м²?
Перед центральной задачей: короткие карточки на выбор действия
- Площадка 10 м × 3 м. Сравни стоимость плитки A и плитки B. На сколько тенге отличается итог?
- Площадка 8 м × 6 м. Сравни резиновое и газонное покрытие. Какая разница в стоимости?
Центральная задача: школьная площадка
- Найди площадь площадки.
- Найди стоимость плитки B.
- Найди стоимость резинового покрытия.
- Какой вариант укладывается в бюджет?
- Сколько денег останется при выборе более дешёвого подходящего варианта?
- На сколько один вариант дороже другого?
- Проверь стоимость плитки B двумя независимыми способами.
После центральной задачи: перенос и альтернативный ход
| Площадка | Размеры | Покрытие |
|---|---|---|
| P | 9 м × 7 м | Плитка A |
| Q | 11 м × 4 м | Плитка B |
| R | 6 м × 6 м | Газонное |
- Найди стоимость покрытия площадки P.
- Найди стоимость покрытия площадки Q.
- Найди стоимость покрытия площадки R.
- Какая площадка требует наименьших затрат?
- Для площадки Q проверь результат, сначала вычислив стоимость полосы 11 м × 1 м, а затем умножив на 4.
Мини-проверка: объясни и исправь
- Ученик для площадки 8 м × 5 м и цены 3200 тг/м² написал 8 × 5 = 40; 40 + 3200 = 3240 тг. Исправь.
- Другой ученик получил для площадки 10 м × 4 м и плитки B стоимость 112 000 тг. Проверь.
- Объясни, почему при одной и той же площади более длинный периметр не меняет стоимость покрытия, если цена дана за 1 м².
Как различать площадь и периметр в практической задаче
Покрытие заполняет всю поверхность площадки, поэтому в расчёте участвует площадь — количество квадратных метров. Периметр показывает длину границы и нужен, например, для бордюра или ограждения. Если цена указана «за 1 м²», умножать её на периметр нельзя.
Единицы помогают проверить смысл. После умножения длины в метрах на ширину в метрах получаются квадратные метры. Затем м² умножаются на тг/м², и квадратные метры сокращаются по смыслу, остаются тенге. Если в промежуточной записи неожиданно появились просто метры, значит выбрана не та величина.
Перед большим умножением удобно сделать оценку. Площадка 12 × 8 имеет площадь чуть меньше 100 м². Плитка B стоит 2800 тг/м², поэтому итог должен быть немного меньше 280 000 тг. Полученные 268 800 тг выглядят разумно. Ответ 26 880 тг был бы примерно в десять раз меньше ожидаемого и сразу потребовал бы перепроверки.
При больших денежных числах удобно разделять вычисление на части. Например, 63 × 3200 можно считать как 63 × 32 × 100: 63 × 32 = 2016, затем добавить два нуля и получить 201 600 тг. После этого полезно оценить: 63 м² × примерно 3000 тг — это примерно 189 000 тг, поэтому 201 600 тг имеет правильный порядок величины.
Если сравниваются две площадки разных размеров, нельзя сравнивать только цены материалов. Более дешёвое покрытие на большой площади может стоить больше дорогого покрытия на маленькой. Поэтому сначала для каждой пары «площадь + материал» находят полную стоимость, и только затем сравнивают результаты.
В ответе к сложной задаче полезно оставлять короткий проверочный ход. Например: «123 200 ÷ 44 = 2800 тг/м²». Эта обратная операция показывает, что итоговая стоимость согласуется с исходной ценой за квадратный метр и найденной площадью.
Как сравнивать два покрытия без лишней работы
Если площадь одна и та же, разницу в стоимости можно найти двумя способами. Первый: полностью вычислить стоимость каждого покрытия и вычесть. Второй: сначала найти разницу цен за 1 м², затем умножить её на площадь. Для площадки 30 м² и цен 3200 и 2800 тг/м² разница цен 400 тг/м², значит общая разница 30 × 400 = 12 000 тг.
Это независимая проверка, потому что структура вычисления меняется. Полный способ даёт 96 000 − 84 000 = 12 000 тг, а короткий — 30 × 400 = 12 000 тг. Совпадение подтверждает ответ.
Если бюджет ограничен, сначала сравни итоговую стоимость с бюджетом, а не цену за 1 м². Более дешёвый квадратный метр обычно ведёт к меньшей общей стоимости при одинаковой площади, но решение задачи всё равно должно содержать полный итог в тенге.
Типичные ошибки в задачах о покрытии
Ошибка 1: сложить стороны вместо умножения. Сумма сторон связана с периметром, а не с площадью. Ошибка 2: умножить цену за 1 м² только на одну сторону. Тогда теряется ширина площадки. Ошибка 3: сравнить бюджет с площадью или ценой за 1 м², не вычислив общую стоимость.
Надёжная последовательность: размеры → площадь в м² → цена за 1 м² → полная стоимость → сравнение вариантов или бюджета. В записи должны сохраняться единицы: м × м = м²; м² × тг/м² = тг.
Два способа проверить стоимость одной и той же площадки
Сначала длина × ширина, затем полученную площадь умножить на цену за 1 м².
Сначала найти стоимость полосы шириной 1 м, затем умножить её на число таких полос.
Например, площадка 11 м × 4 м с покрытием 2800 тг/м². Через площадь: 44 × 2800 = 123 200 тг. Через полосы: одна полоса 11 м² стоит 30 800 тг, четыре полосы стоят 30 800 × 4 = 123 200 тг. Совпадение подтверждает и площадь, и денежное вычисление.
Если известна итоговая стоимость и площадь, цену за 1 м² можно восстановить делением. Это даёт удобную обратную проверку. Например, 112 000 тг ÷ 40 м² = 2800 тг/м² — именно цена плитки B из таблицы. Если при обратном делении получается другая цена, значит где-то неверно найдена площадь или выполнено умножение.
Для прямоугольной площадки с целыми размерами полезно также разбить её на одинаковые полосы. Площадка 8 м × 5 м состоит из пяти полос 8 м × 1 м. Стоимость каждой полосы при цене 3200 тг/м² равна 25 600 тг, а пяти полос — 128 000 тг. Этот способ визуально показывает, почему цена умножается на каждый квадратный метр поверхности.
Ответы и пояснения
- 21 м².
- 21 × 3200 = 67 200 тг.
- 36 м².
- 36 × 2400 = 86 400 тг.
- Газонное покрытие: 2400 тг/м².
- 5 × 5, потому что площадь прямоугольника равна длина × ширина; ответ 25 м².
- 32 × 3500 = 112 000 тг.
- 84 000 ÷ 30 = 2800 тг/м².
- Нужно 6 × 4 = 24 м², а не складывать стороны.
- Площадь 30 м². A: 96 000 тг; B: 84 000 тг; разница 12 000 тг.
- Площадь 48 м². Резиновое: 168 000 тг; газонное: 115 200 тг; разница 52 800 тг.
- 12 × 8 = 96 м².
- 96 × 2800 = 268 800 тг.
- 96 × 3500 = 336 000 тг.
- Только плитка B укладывается в 300 000 тг.
- 300 000 − 268 800 = 31 200 тг.
- 336 000 − 268 800 = 67 200 тг.
- Способ 1: 96 × 2800 = 268 800. Способ 2: 12 × 2800 = 33 600; 33 600 × 8 = 268 800. Результаты совпадают.
- P: 9 × 7 = 63 м²; 63 × 3200 = 201 600 тг.
- Q: 11 × 4 = 44 м²; 44 × 2800 = 123 200 тг.
- R: 6 × 6 = 36 м²; 36 × 2400 = 86 400 тг.
- R: 86 400 тг.
- Полоса 11 м × 1 м имеет площадь 11 м² и стоит 30 800 тг; 30 800 × 4 = 123 200 тг.
- Правильно: 40 м² × 3200 тг/м² = 128 000 тг.
- Верно: 10 × 4 = 40 м²; 40 × 2800 = 112 000 тг.
- Стоимость зависит от площади в квадратных метрах, потому что тариф задан за 1 м². Периметр здесь не участвует в вычислении.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.