Учебная лаборатория «Нахождение площади рамки как разности площадей прямоугольников»: математика, 4 класс
Лаборатория математического редактора. Рамка занимает то, что осталось от большого прямоугольника после удаления внутреннего прямоугольника. Поэтому её площадь удобно находить разностью: S рамки = S внешнего − S внутреннего. Главное — не вычитать стороны вместо площадей.
Содержание статьи7 разделовПоказатьСкрыть
Редакторская разминка: что в готовом решении нужно исправить
Разбор 1.
Внешний прямоугольник 12 см × 9 см, внутренний 8 см × 5 см. Правильно: 108 − 40 = 68 см². Ошибка вида (12−8)×(9−5)=16 см² неверна: такое произведение описывает маленький угловой прямоугольник, а не всю рамку.
Разбор 2.
Внешний 15 см × 11 см, внутренний 9 см × 5 см. Получаем 165 − 45 = 120 см². Проверка: рамка положительна и меньше площади внешнего прямоугольника 165 см².
внутренний прямоугольник
Модель показывает смысл разности площадей: синяя область — рамка, белая — вырезанная внутренняя часть.
Проверь четыре записи и поставь редакторскую отметку
1. Внешний прямоугольник 20 см × 14 см, внутренний 12 см × 6 см. Ученик записал 20×14−12×6=208 см². Проверь.
2. Внешний 18 см × 10 см, внутренний 10 см × 4 см. Запись: 180−40=140 см². Верна ли она?
3. Внешний 24 см × 16 см, внутренний 14 см × 8 см. Ученик получил 282 см². Найди строку, где возникла ошибка, и исправь.
4. Внешний 30 дм × 20 дм, внутренний 18 дм × 10 дм. Ученик пишет: 600−180=420 дм. Что именно нужно исправить?
Таблица данных: вычисли площадь рамки и проверь границы ответа
№
Внешний прямоугольник
Внутренний прямоугольник
Что найти
5
16 см × 12 см
10 см × 6 см
площадь рамки, см²
6
21 см × 15 см
13 см × 7 см
площадь рамки, см²
7
25 дм × 18 дм
15 дм × 10 дм
площадь рамки, дм²
8
32 см × 24 см
20 см × 12 см
площадь рамки, см²
9
40 дм × 30 дм
26 дм × 18 дм
площадь рамки, дм²
10
14 см × 13 см
8 см × 5 см
площадь рамки, см²
Создай свой корректный пример рамки
Сначала выбери внешние размеры, затем внутренние — они должны быть меньше соответствующих внешних. После этого вычисли обе площади и разность.
11. Составь пример рамки, у которой внешняя площадь 120 см², внутренняя 48 см². Подбери целые размеры прямоугольников и найди площадь рамки.
12. Составь пример с внешним прямоугольником 18 см × 12 см и площадью рамки 120 см². Найди возможные целые размеры внутреннего прямоугольника. Достаточно одного варианта.
13. Внутренний прямоугольник имеет площадь 63 см², а площадь рамки 117 см². Какова площадь внешнего прямоугольника? Приведи один вариант его целых размеров.
14. Объясни, почему нельзя найти площадь произвольной рамки только по разностям длин сторон внешнего и внутреннего прямоугольников.
Итоговая задача редактора: схема, вычисление, контроль
Ситуация.
Прямоугольная площадка 28 м × 20 м окружает внутреннюю прямоугольную клумбу 18 м × 10 м. Пространство между границами — дорожка-рамка. Нужно определить площадь дорожки.
Найди площадь всей площадки.
Найди площадь клумбы.
Вычти внутреннюю площадь из внешней.
Проверь, что ответ меньше внешней площади и больше нуля.
15. Выполни вычисление площади дорожки по данным центральной задачи.
16. Ученик получил 28×20−18×10=380 м². Проверь каждое действие и сделай редакторский вывод.
17. Если внутреннюю клумбу увеличить до 20 м × 12 м, площадь дорожки увеличится или уменьшится? Вычисли новую площадь и сравни.
18. На сколько квадратных метров изменится площадь дорожки после такого увеличения клумбы?
Мини-итог и критерии самопроверки
19. Найди площадь рамки: внешний прямоугольник 22 см × 17 см, внутренний 14 см × 9 см.
20. Найди ошибку: 25×16−15×8 = 400−120 = 290 см².
21. Внешняя площадь 300 см², рамка 174 см². Найди площадь внутреннего прямоугольника.
22. Запиши короткую проверку для ответа 174 см² из предыдущего задания.
Редакторская проверка.
Внешние и внутренние площади вычислены отдельно.
Из большей площади вычтена меньшая.
Ответ записан в квадратных единицах.
Для сложного задания есть проверочный ход: сумма площади рамки и внутренней части возвращает внешнюю площадь.
Почему рамка — именно разность.
Внешний прямоугольник можно представить как две неперекрывающиеся области: внутренний прямоугольник и саму рамку. Поэтому их площади в сумме дают площадь внешнего прямоугольника. Отсюда сразу следует обратная проверка: S рамки + S внутреннего = S внешнего.
Граница разумного ответа.
Площадь рамки всегда положительна и всегда меньше площади внешнего прямоугольника, если внутренний прямоугольник действительно помещается внутри. Если после вычисления ответ отрицательный или больше внешней площади, нужно проверить, не перепутаны ли уменьшаемое и вычитаемое.
Почему нельзя просто вычесть стороны.
Разности ширин и высот показывают суммарную толщину полей по направлениям, но не образуют один прямоугольник, равный всей рамке. У рамки есть верхняя, нижняя, левая и правая области. Произведение двух разностей захватывает лишь часть пространства и потому систематически занижает площадь.
Редакторская проверка произведений.
До итогового вычитания отдельно проверь оба произведения: внешнюю площадь и внутреннюю. Если одно из них неверно, дальнейшее действие уже не спасёт решение. Полезная привычка — подписывать под каждым произведением его смысл, а не оставлять две безымянные пары чисел.
Если одна площадь неизвестна.
Связь трёх величин работает в обе стороны. Внутренняя площадь = внешняя − рамка; внешняя = рамка + внутренняя. Поэтому задачи с пропуском решаются не новым правилом, а тем же отношением между целым и двумя неперекрывающимися частями.
Как придумать корректный пример.
Внутренние стороны должны быть строго меньше соответствующих внешних сторон. После выбора размеров сначала проверь это условие, затем вычисли площади. Так пример будет геометрически возможным, а не только арифметически удобным.
Проверка на практическом сюжете.
Для дорожки вокруг клумбы ответ означает площадь поверхности дорожки, а не длину её края. Поэтому в ответе должны стоять м². Если задача потом спрашивает, на сколько изменилась дорожка при увеличении клумбы, сравни именно площади двух дорожек.
Типичная арифметическая ловушка.
Даже при верной модели ошибка часто возникает в последнем вычитании. Короткая проверка сложением ловит её сразу: прибавь внутреннюю площадь к найденной площади рамки. Если внешняя площадь не восстановилась, пересчитывай арифметику, а не меняй геометрическую формулу.
20. 25×16=400, 15×8=120, но 400−120=280 см², а не 290 см².
21. 300−174=126 см².
22. Проверка: 174 см² + 126 см² = 300 см², то есть рамка и внутренний прямоугольник вместе возвращают внешнюю площадь.
Вывод лаборатории. Формула разности площадей удобна тем, что не требует отдельно считать четыре полосы рамки. Это уменьшает число мест, где можно случайно наложить или пропустить часть фигуры.
Поделиться
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.
