Математическая мастерская для 3 класса: Сколько трёхзначных кодов можно составить из двух вариантов на каждом шаге

Мастерскаякоды из 3 позицийПредставим код из трёх знаков. На каждой позиции разрешён один из двух заранее заданных вариантов: 1 или 2. Повторять цифры можно. Значит, код 112 допустим, а 123 — нет, потому что цифра 3 не входит в набор. Задача мастерской — научиться перечислять все коды без пропусков и проверять количество двумя способами.

Содержание статьи6 разделов

Проблема мастерской: почему четырёх кодов недостаточно

Ученик записал 111, 112, 121, 122 и решил, что вариантов всего четыре. Он полностью рассмотрел только коды, начинающиеся с 1, и забыл вторую большую ветвь — коды, начинающиеся с 2.

Разобранный пример 1. Зафиксируем первую цифру 1. Для второй есть 1 или 2, и для третьей снова 1 или 2. Получаем 111, 112, 121, 122 — четыре кода.

Разобранный пример 2. Проделаем то же для первой цифры 2: 211, 212, 221, 222. Теперь обе большие ветви вместе дают 4 + 4 = 8 кодов.

Разобранный пример 3. Проверка по шагам: первая позиция даёт 2 начала; после второй позиции вариантов становится 4; после третьей — 8. Этот способ не требует сразу выписывать все коды, но перечень подтверждает, что ни один код не повторился.

Линия шагов: как строить код без хаоса

Уточни разрешённые знаки: на каждой позиции только 1 или 2.
Зафиксируй первый знак: сначала полностью обработай начало 1, затем начало 2.
Перебери вторую позицию: внутри каждого начала поставь 1 и 2.
Дострой третью позицию: к каждому двухзначному началу допиши 1 и 2.
Сверь результат: должно быть 8 разных трёхзначных записей, каждая только из цифр 1 и 2.

1. Допиши к началу 11_ все допустимые коды.

2. Допиши к началу 22_ все допустимые коды.

3. Какие четыре кода начинаются с 1?

4. Какие четыре кода начинаются с 2?

5. Сколько кодов заканчивается цифрой 1?

6. Может ли код 212 появиться дважды при правильном системном переборе? Объясни.

Сделай сам: короткие карточки с разными условиями

7. Запиши код по описанию: первая цифра 2, вторая 1, третья 2.
8. Найди лишнюю запись: 111, 121, 212, 223, 222.
9. Сколько кодов имеют одинаковые первую и вторую цифры?
10. Сколько кодов имеют ровно одну цифру 2?
11. Назови все коды, у которых средняя цифра 1.
12. Назови все коды, у которых первая и третья цифры разные.

13. Объясни, почему при фиксированной первой цифре остаётся ровно 4 кода. Используй слова «вторая позиция» и «третья позиция».

14. Ученик написал: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 221. Проверь решение, исправь одну строку и объясни, как ты нашёл ошибку.

Выбор стратегии: перечень, дерево или счёт по шагам

Задача Что известно Удобная стратегия
А Нужно назвать каждый код Системный перечень
Б Нужно только узнать число кодов Счёт по уровням 2 → 4 → 8
В Нужно увидеть, где возник пропуск Дерево или перечень по одинаковым началам
  1. 15. Для задачи «сколько всего кодов?» выбери стратегию Б или полный перечень. Реши обоими способами и сравни, какой короче.
  2. 16. Для поиска пропущенного кода в списке 111, 112, 121, 122, 211, 212, 222 какой способ удобнее? Найди пропуск.
  3. 17. Если разрешены символы А и Б вместо цифр 1 и 2, а позиций по-прежнему три, изменится ли количество кодов? Объясни.
  4. 18. Если код состоит только из двух позиций и на каждой 1 или 2, сколько кодов? Назови их и сопоставь со счётом по шагам.

Перенос навыка: код шкафчика и цветовые метки

В школьном квесте три переключателя. Первый может быть В (вверх) или Н (вниз), второй — тоже В или Н, третий — тоже В или Н. Полный код — три буквы в порядке переключателей.

  1. 19. Сколько полных кодов переключателей возможно?
  2. 20. Запиши все коды, начинающиеся с ВН.
  3. 21. Сколько кодов начинаются с В? Перечисли их.
  4. 22. Один участник утверждает: «ВВН и ВНВ одинаковы, потому что в обоих две буквы В». Верно ли? Объясни роль позиции.
  5. 23. В списке ВВВ, ВВН, ВНВ, ВНН, НВВ, НВН, ННВ какой код отсутствует?

Замена цифр буквами не меняет структуру задачи: на каждом из трёх мест по два варианта. Меняются только обозначения. Это полезная проверка понимания: если способ работает не только для 1 и 2, значит, ученик видит последовательные выборы, а не запоминает конкретный список.

Финиш мастерской: мини-проверка и ответы

24. Сколько кодов из трёх позиций можно составить из знаков X и O, если повторения разрешены?

25. Перечисли все коды из задания 24 в системном порядке.

26. Дай сильное объяснение, почему ответ задания 24 равен 8, а не 6.

Проверь себя: в каждом коде ровно три позиции; на каждой только два разрешённых знака; порядок важен; повторения знаков разрешены; повторение целого кода не создаёт новый вариант.

  1. 1. 111, 112.
  2. 2. 221, 222.
  3. 3. 111, 112, 121, 122.
  4. 4. 211, 212, 221, 222.
  5. 5. 4: 111, 121, 211, 221.
  6. 6. Нет; при системном переборе каждой последовательности соответствует одно место в списке.
  7. 7. 212.
  8. 8. 223, потому что цифра 3 не разрешена.
  9. 9. 4: 111, 112, 221, 222.
  10. 10. 3: 112, 121, 211.
  11. 11. 111, 112, 211, 212.
  12. 12. 112, 122, 211, 221.
  13. 13. При фиксированной первой цифре вторая имеет 2 варианта; каждый из них допускает 2 варианта третьей, поэтому 4 кода.
  14. 14. Последний повтор 221 нужно заменить на 222. Проверка по группе, начинающейся с 2: 211, 212, 221, 222.
  15. 15. 8. Счёт 2 → 4 → 8 короче, перечень лучше показывает сами коды.
  16. 16. Пропущен 221; удобно сравнить группу кодов, начинающихся с 2.
  17. 17. Нет, останется 8: меняются обозначения, но не число вариантов на каждом шаге.
  18. 18. 4: 11, 12, 21, 22; по шагам 2 → 4.
  19. 19. 8.
  20. 20. ВНВ и ВНН.
  21. 21. 4: ВВВ, ВВН, ВНВ, ВНН.
  22. 22. Неверно; расположение букв задаёт разные решения на втором и третьем переключателях.
  23. 23. ННН.
  24. 24. 8.
  25. 25. XXX, XXO, XOX, XOO, OXX, OXO, OOX, OOO.
  26. 26. После первой позиции 2 начала, после второй каждое имеет 2 продолжения — 4, после третьей каждое снова имеет 2 — 8. Сложение 2 + 2 + 2 не учитывает, что выборы сочетаются последовательно.

Критерий сильного объяснения: названо, что выбор на следующей позиции выполняется для каждого уже полученного начала; показан рост 2 → 4 → 8 или полный перечень; отдельно отмечено, что порядок знаков важен.

Как не спутать код и число. Здесь записи 111 или 212 используются как последовательности знаков, а не как числа для сложения или сравнения по величине. Вопрос «сколько кодов?» относится к количеству разных последовательностей. Поэтому код 112 не больше и не меньше кода 111 в смысле этой задачи — он просто другой, потому что третья позиция отличается.

Полезно проверять код по трём условиям: ровно три позиции; на каждой стоит только разрешённый знак; одинаковые последовательности учитываются один раз. После этого сверь группировку по первой позиции: четыре кода должны начинаться с 1 и четыре — с 2. Такая симметрия быстро показывает, что одна из больших ветвей не потеряна.

Ещё одна проверка. Как не спутать код и число. Здесь записи 111 или 212 используются как последовательности знаков, а не как числа для сложения или сравнения по величине. Вопрос «сколько кодов?» относится к количеству разных последовательностей. Поэтому код 112 не больше и не меньше кода 111 в смысле этой задачи — он просто другой, потому что третья позиция отличается.

Полезно проверять код по трём условиям: ровно три позиции; на каждой стоит только разрешённый знак; одинаковые последовательности учитываются один раз. После этого сверь группировку по первой позиции: четыре кода должны начинаться с 1 и четыре — с 2. Такая симметрия быстро показывает, что одна из больших ветвей не потеряна.

Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Как не спутать код и число. Здесь записи 111 или 212 используются как последовательности знаков, а не как числа для сложения или сравнения по величине. Вопрос «сколько кодов?» относится к количеству разных последовательностей. Поэтому код 112 не больше и не меньше кода 111 в смысле этой задачи — он просто другой, потому что третья позиция отличается.

Полезно проверять код по трём условиям: ровно три позиции; на каждой стоит только разрешённый знак; одинаковые последовательности учитываются один раз. После этого сверь группировку по первой позиции: четыре кода должны начинаться с 1 и четыре — с 2. Такая симметрия быстро показывает, что одна из больших ветвей не потеряна.

Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Как не спутать код и число. Здесь записи 111 или 212 используются как последовательности знаков, а не как числа для сложения или сравнения по величине. Вопрос «сколько кодов?» относится к количеству разных последовательностей. Поэтому код 112 не больше и не меньше кода 111 в смысле этой задачи — он просто другой, потому что третья позиция отличается.

Полезно проверять код по трём условиям: ровно три позиции; на каждой стоит только разрешённый знак; одинаковые последовательности учитываются один раз. После этого сверь группировку по первой позиции: четыре кода должны начинаться с 1 и четыре — с 2. Такая симметрия быстро показывает, что одна из больших ветвей не потеряна.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым