Перебор маршрутов с тремя последовательными выборами: большой практикум с ответами для 3 класса
Учебная лабораториямаршрутыВ маршруте важен порядок развилок. Будем рассматривать три последовательных выбора. В базовой модели на каждой развилке два направления: Л — левое и П — правое. Полный маршрут содержит три буквы. Такая модель позволяет проверить гипотезу на числах, а затем перенести способ на реальные схемы дорог.
Содержание статьи6 разделов
Наблюдаем развилки: что меняется после каждого шага
Разобранный пример 1. Маршрут ЛПЛ означает: сначала налево, затем направо, затем налево. Он отличается от ПЛЛ уже первым выбором.
Разобранный пример 2. Чтобы назвать все маршруты, начинающиеся с ЛП, не нужно строить всё дерево: третья развилка даёт два окончания — ЛПЛ и ЛПП.
Разобранный пример 3. Для проверки общего количества можно либо выписать 8 путей, либо проследить удвоение: 2 → 4 → 8. Совпадение результатов подтверждает полноту.
Гипотеза ученика: «каждая новая развилка удваивает число путей»
1. Сколько путей после одной развилки?
2. Сколько путей после двух одинаковых развилок?
3. Сколько путей после трёх развилок?
4. Проверь гипотезу на последовательности 2 → 4 → 8. Что именно удваивается?
5. Если оставить только маршруты, начинающиеся с Л, сколько их будет?
6. Объясни, почему при фиксированном первом выборе остаётся четыре продолжения.
Гипотеза работает только при условии, что от каждого текущего конца выходят две допустимые ветви. Если в реальной схеме одна дорога закрыта, слепо удваивать нельзя: придётся смотреть на конкретную модель. Поэтому дерево не просто картинка — оно хранит условия задачи.
Проверяем модель на числах и коротких маршрутах
13. Ученик утверждает: «ЛПП и ПЛП можно считать одним маршрутом, потому что в обоих два П». Верно ли? Объясни, как порядок развилок меняет путь.
14. Перечисли маршруты с ровно двумя выборами Л. Затем проверь себя, называя место единственного П.
Лабораторный вывод: когда дерево полное
Полное дерево для трёх одинаковых развилок должно иметь 8 конечных листьев. Но число листьев само по себе недостаточно: список может содержать повтор и одновременно пропуск. Поэтому нужны два контроля: количественный — должно быть 8 строк, и структурный — у каждого двухбуквенного начала должны присутствовать оба окончания Л и П.
- 15. Проверь список: ЛЛЛ, ЛЛП, ЛПЛ, ЛПП, ПЛЛ, ПЛП, ППЛ, ППЛ. Какая строка повторена и какая пропущена?
- 16. Исправь рассуждение: «Три развилки по два направления дают 3 × 2 = 6 маршрутов».
- 17. Объясни двумя предложениями, зачем после подсчёта 8 всё равно полезно просмотреть конечные пути.
Самостоятельные маршруты: от схемы к жизненной задаче
В парке есть три последовательных пункта выбора. На первом можно идти к фонтану (Ф) или к клумбе (К), на втором — через мостик (М) или по дорожке (Д), на третьем — к воротам А или Б. Все сочетания разрешены.
- 18. Сколько маршрутов от входа до ворот?
- 19. Запиши маршрут «фонтан → дорожка → ворота Б» буквами.
- 20. Назови все маршруты, которые проходят через мостик.
- 21. Сколько маршрутов ведут к воротам А? Объясни ход рассуждения.
- 22. Сколько маршрутов идут через клумбу и заканчиваются воротами Б? Перечисли их.
- 23. Турист записал ФМА, ФМБ, ФДА, ФДБ, КМА, КМБ, КДА, КДА. Найди ошибку и исправь готовое решение.
Контрольный вопрос и ответы лаборатории
24. В новой схеме первые две развилки имеют по 2 направления, а на третьей только у всех путей доступны два выхода. Сколько полных маршрутов? Покажи два способа проверки.
25. Если в базовом восьмимаршрутном дереве закрыли только последний выход П после начала ЛЛ, сколько маршрутов осталось? Назови исчезнувший маршрут.
26. Сформулируй правило, по которому можно проверить дерево на пропуски, не сравнивая строки в случайном порядке.
- 1. 2.
- 2. 4.
- 3. 8.
- 4. Удваивается число текущих путей: каждый получает две ветви.
- 5. 4.
- 6. После первого Л остаются две развилки; на каждой по два варианта, поэтому 2 → 4 продолжения.
- 7. ЛЛЛ, ЛЛП.
- 8. ПЛЛ, ПЛП.
- 9. ЛЛЛ, ЛПЛ, ПЛЛ, ППЛ.
- 10. 3: ПЛЛ, ЛПЛ, ЛЛП.
- 11. 2: ЛЛЛ, ППП.
- 12. ППЛ.
- 13. Неверно: первый и второй выбор сделаны в разном порядке, поэтому ветви дерева различаются.
- 14. ПЛЛ, ЛПЛ, ЛЛП.
- 15. Повтор ППЛ, пропуск ППП.
- 16. Нужно учитывать сочетание последовательных выборов: 2 → 4 → 8, а не умножать число развилок на число направлений.
- 17. Восемь строк могут содержать повтор. Структурная сверка по началам помогает обнаружить одновременно повтор и пропуск.
- 18. 8.
- 19. ФДБ.
- 20. ФМА, ФМБ, КМА, КМБ.
- 21. 4: ФМА, ФДА, КМА, КДА; при фиксированных воротах А первые два выбора дают 2 × 2 варианта.
- 22. 2: КМБ, КДБ.
- 23. Последний КДА повторён; нужен КДБ.
- 24. 8. Перечень даст 8 путей; счёт по уровням — 2 → 4 → 8.
- 25. 7 маршрутов; исчезает ЛЛП.
- 26. Сгруппировать пути по одинаковым двухшаговым началам и убедиться, что у каждого начала есть оба допустимых окончания.
Критерий сильного объяснения: ученик связывает число маршрутов с последовательным ветвлением, различает порядок выборов и показывает контроль полноты, а не только называет число 8.
Лабораторный итог: дерево удобно для понимания структуры, а системный список — для точной сверки конкретных маршрутов. Использование обоих способов снижает риск пропуска: один показывает «сколько должно быть», второй — «какие именно варианты есть».
Как читать маршрут. Каждая буква относится к своей развилке, поэтому нельзя переставлять их местами. Если турист сначала повернул к фонтану, а затем прошёл по дорожке, это не тот же путь, что сначала выбрать другую первую ветвь и потом попытаться «компенсировать» её похожим последующим поворотом. Дерево фиксирует историю решений по порядку.
При переносе на реальную схему сначала проверь, действительно ли все ветви доступны. В учебной базовой модели каждая из трёх развилок имеет два направления для каждого пришедшего пути, поэтому получается восемь. Если условие сообщает о закрытой дороге, число надо пересчитать по фактическим ветвям, а не применять удвоение автоматически.
Ещё одна проверка. Как читать маршрут. Каждая буква относится к своей развилке, поэтому нельзя переставлять их местами. Если турист сначала повернул к фонтану, а затем прошёл по дорожке, это не тот же путь, что сначала выбрать другую первую ветвь и потом попытаться «компенсировать» её похожим последующим поворотом. Дерево фиксирует историю решений по порядку.
При переносе на реальную схему сначала проверь, действительно ли все ветви доступны. В учебной базовой модели каждая из трёх развилок имеет два направления для каждого пришедшего пути, поэтому получается восемь. Если условие сообщает о закрытой дороге, число надо пересчитать по фактическим ветвям, а не применять удвоение автоматически.
Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Как читать маршрут. Каждая буква относится к своей развилке, поэтому нельзя переставлять их местами. Если турист сначала повернул к фонтану, а затем прошёл по дорожке, это не тот же путь, что сначала выбрать другую первую ветвь и потом попытаться «компенсировать» её похожим последующим поворотом. Дерево фиксирует историю решений по порядку.
При переносе на реальную схему сначала проверь, действительно ли все ветви доступны. В учебной базовой модели каждая из трёх развилок имеет два направления для каждого пришедшего пути, поэтому получается восемь. Если условие сообщает о закрытой дороге, число надо пересчитать по фактическим ветвям, а не применять удвоение автоматически.
Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Ещё одна проверка. Как читать маршрут. Каждая буква относится к своей развилке, поэтому нельзя переставлять их местами. Если турист сначала повернул к фонтану, а затем прошёл по дорожке, это не тот же путь, что сначала выбрать другую первую ветвь и потом попытаться «компенсировать» её похожим последующим поворотом. Дерево фиксирует историю решений по порядку.
При переносе на реальную схему сначала проверь, действительно ли все ветви доступны. В учебной базовой модели каждая из трёх развилок имеет два направления для каждого пришедшего пути, поэтому получается восемь. Если условие сообщает о закрытой дороге, число надо пересчитать по фактическим ветвям, а не применять удвоение автоматически.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.