Как отмерить 4 литра без мерного стакана? 15 задач на переливание для 4 класса

Математика · логика · 4 класс

Как получить ровно 4 литра, если есть только сосуды на 3 и 5 литров? Линейки и мерного стакана нет — зато есть способ решать такие задачи без угадывания. Ниже разбираем правила и тренируемся на 15 вариантах, от простых до олимпиадных.

15 задачПошаговые решенияТаблицы состоянийОт простого к сложному

Задачи на переливание учат планировать несколько ходов вперёд. Здесь важно не просто считать литры, а следить за тем, сколько воды осталось в каждом сосуде после действия.

Условия для всех заданий: из крана можно набирать сколько угодно воды; воду разрешено выливать. На сосудах нет делений. Можно наполнить сосуд до краёв, опустошить его либо переливать из одного в другой до тех пор, пока один не опустеет или другой не заполнится. Останавливаться «на глаз» посередине нельзя.

Содержание статьи21 раздел

Разберём знаменитую задачу про 3 и 5 литров

Требуется получить ровно 4 литра в одном из сосудов. Представим, что сосуд А вмещает 3 л, сосуд Б — 5 л. Запись (А; Б) показывает остаток воды после каждого хода.

Один из самых коротких способов — 6 ходов:

  1. Налить в сосуд Б до краёв. Стало: (А = 0 л; Б = 5 л)
  2. Перелить из Б в А до опустошения Б или наполнения А. Стало: (А = 3 л; Б = 2 л)
  3. Вылить воду из сосуда А. Стало: (А = 0 л; Б = 2 л)
  4. Перелить из Б в А до опустошения Б или наполнения А. Стало: (А = 2 л; Б = 0 л)
  5. Налить в сосуд Б до краёв. Стало: (А = 2 л; Б = 5 л)
  6. Перелить из Б в А до опустошения Б или наполнения А. Стало: (А = 3 л; Б = 4 л)

Ответ: в пятилитровом сосуде 4 литра.

Как искать решение, а не перебирать наугад

1. Запиши состояниеНапример, (0; 5): первый сосуд пуст, во втором 5 литров.
2. Выполняй только разрешённый ходНалей полностью, вылей полностью либо переливай до упора.
3. Проверяй оба сосудаПосле каждого шага сумма воды меняется лишь при наполнении или сливе.

Хорошая привычка — отмечать уже встречавшиеся состояния. Если снова получилась та же пара чисел, то вы попали в круг и можете выбрать другой ход.

Практикум: 15 задач на переливание с решениями

Сначала попытайся самостоятельно получить указанное количество воды. Затем раскрой решение — все промежуточные количества уже проверены. Сосуд А всегда меньше по объёму, чем сосуд Б.

Задача 1. Сосуды 2 л и 7 л — отмерь 5 л

Базовый2 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (2 л) и Б (7 л). Получи ровно 5 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 7).
  2. Перелить из Б в А. (2; 5).

Ответ: 5 л в сосуде Б (2 ходов). Финальное состояние: (2; 5).

Задача 2. Сосуды 3 л и 5 л — отмерь 4 л

Базовый6 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (3 л) и Б (5 л). Получи ровно 4 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 5).
  2. Перелить из Б в А. (3; 2).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 2).
  4. Перелить из Б в А. (2; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (2; 5).
  6. Перелить из Б в А. (3; 4).

Ответ: 4 л в сосуде Б (6 ходов). Финальное состояние: (3; 4).

Задача 3. Сосуды 4 л и 7 л — отмерь 6 л

Базовый6 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (4 л) и Б (7 л). Получи ровно 6 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 7).
  2. Перелить из Б в А. (4; 3).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 3).
  4. Перелить из Б в А. (3; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (3; 7).
  6. Перелить из Б в А. (4; 6).

Ответ: 6 л в сосуде Б (6 ходов). Финальное состояние: (4; 6).

Задача 4. Сосуды 5 л и 9 л — отмерь 8 л

Базовый6 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (5 л) и Б (9 л). Получи ровно 8 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 9).
  2. Перелить из Б в А. (5; 4).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 4).
  4. Перелить из Б в А. (4; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (4; 9).
  6. Перелить из Б в А. (5; 8).

Ответ: 8 л в сосуде Б (6 ходов). Финальное состояние: (5; 8).

Задача 5. Сосуды 5 л и 8 л — отмерь 7 л

Тренировка8 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (5 л) и Б (8 л). Получи ровно 7 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд А до краёв. (5; 0).
  2. Перелить из А в Б. (0; 5).
  3. Налить в сосуд А до краёв. (5; 5).
  4. Перелить из А в Б. (2; 8).
  5. Вылить воду из сосуда Б. (2; 0).
  6. Перелить из А в Б. (0; 2).
  7. Налить в сосуд А до краёв. (5; 2).
  8. Перелить из А в Б. (0; 7).

Ответ: 7 л в сосуде Б (8 ходов). Финальное состояние: (0; 7).

Задача 6. Сосуды 3 л и 7 л — отмерь 5 л

Тренировка8 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (3 л) и Б (7 л). Получи ровно 5 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 7).
  2. Перелить из Б в А. (3; 4).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 4).
  4. Перелить из Б в А. (3; 1).
  5. Вылить воду из сосуда А. (0; 1).
  6. Перелить из Б в А. (1; 0).
  7. Налить в сосуд Б до краёв. (1; 7).
  8. Перелить из Б в А. (3; 5).

Ответ: 5 л в сосуде Б (8 ходов). Финальное состояние: (3; 5).

Задача 7. Сосуды 4 л и 9 л — отмерь 6 л

Тренировка8 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (4 л) и Б (9 л). Получи ровно 6 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 9).
  2. Перелить из Б в А. (4; 5).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 5).
  4. Перелить из Б в А. (4; 1).
  5. Вылить воду из сосуда А. (0; 1).
  6. Перелить из Б в А. (1; 0).
  7. Налить в сосуд Б до краёв. (1; 9).
  8. Перелить из Б в А. (4; 6).

Ответ: 6 л в сосуде Б (8 ходов). Финальное состояние: (4; 6).

Задача 8. Сосуды 3 л и 8 л — отмерь 7 л

Тренировка8 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (3 л) и Б (8 л). Получи ровно 7 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 8).
  2. Перелить из Б в А. (3; 5).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 5).
  4. Перелить из Б в А. (3; 2).
  5. Вылить воду из сосуда А. (0; 2).
  6. Перелить из Б в А. (2; 0).
  7. Налить в сосуд Б до краёв. (2; 8).
  8. Перелить из Б в А. (3; 7).

Ответ: 7 л в сосуде Б (8 ходов). Финальное состояние: (3; 7).

Задача 9. Сосуды 7 л и 10 л — отмерь 9 л

Тренировка10 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (7 л) и Б (10 л). Получи ровно 9 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 10).
  2. Перелить из Б в А. (7; 3).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 3).
  4. Перелить из Б в А. (3; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (3; 10).
  6. Перелить из Б в А. (7; 6).
  7. Вылить воду из сосуда А. (0; 6).
  8. Перелить из Б в А. (6; 0).
  9. Налить в сосуд Б до краёв. (6; 10).
  10. Перелить из Б в А. (7; 9).

Ответ: 9 л в сосуде Б (10 ходов). Финальное состояние: (7; 9).

Задача 10. Сосуды 6 л и 13 л — отмерь 11 л

Тренировка10 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (6 л) и Б (13 л). Получи ровно 11 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд А до краёв. (6; 0).
  2. Перелить из А в Б. (0; 6).
  3. Налить в сосуд А до краёв. (6; 6).
  4. Перелить из А в Б. (0; 12).
  5. Налить в сосуд А до краёв. (6; 12).
  6. Перелить из А в Б. (5; 13).
  7. Вылить воду из сосуда Б. (5; 0).
  8. Перелить из А в Б. (0; 5).
  9. Налить в сосуд А до краёв. (6; 5).
  10. Перелить из А в Б. (0; 11).

Ответ: 11 л в сосуде Б (10 ходов). Финальное состояние: (0; 11).

Задача 11. Сосуды 4 л и 11 л — отмерь 9 л

Повышенный12 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (4 л) и Б (11 л). Получи ровно 9 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд А до краёв. (4; 0).
  2. Перелить из А в Б. (0; 4).
  3. Налить в сосуд А до краёв. (4; 4).
  4. Перелить из А в Б. (0; 8).
  5. Налить в сосуд А до краёв. (4; 8).
  6. Перелить из А в Б. (1; 11).
  7. Вылить воду из сосуда Б. (1; 0).
  8. Перелить из А в Б. (0; 1).
  9. Налить в сосуд А до краёв. (4; 1).
  10. Перелить из А в Б. (0; 5).
  11. Налить в сосуд А до краёв. (4; 5).
  12. Перелить из А в Б. (0; 9).

Ответ: 9 л в сосуде Б (12 ходов). Финальное состояние: (0; 9).

Задача 12. Сосуды 6 л и 11 л — отмерь 8 л

Повышенный14 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (6 л) и Б (11 л). Получи ровно 8 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд А до краёв. (6; 0).
  2. Перелить из А в Б. (0; 6).
  3. Налить в сосуд А до краёв. (6; 6).
  4. Перелить из А в Б. (1; 11).
  5. Вылить воду из сосуда Б. (1; 0).
  6. Перелить из А в Б. (0; 1).
  7. Налить в сосуд А до краёв. (6; 1).
  8. Перелить из А в Б. (0; 7).
  9. Налить в сосуд А до краёв. (6; 7).
  10. Перелить из А в Б. (2; 11).
  11. Вылить воду из сосуда Б. (2; 0).
  12. Перелить из А в Б. (0; 2).
  13. Налить в сосуд А до краёв. (6; 2).
  14. Перелить из А в Б. (0; 8).

Ответ: 8 л в сосуде Б (14 ходов). Финальное состояние: (0; 8).

Задача 13. Сосуды 5 л и 12 л — отмерь 11 л

Повышенный14 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (5 л) и Б (12 л). Получи ровно 11 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 12).
  2. Перелить из Б в А. (5; 7).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 7).
  4. Перелить из Б в А. (5; 2).
  5. Вылить воду из сосуда А. (0; 2).
  6. Перелить из Б в А. (2; 0).
  7. Налить в сосуд Б до краёв. (2; 12).
  8. Перелить из Б в А. (5; 9).
  9. Вылить воду из сосуда А. (0; 9).
  10. Перелить из Б в А. (5; 4).
  11. Вылить воду из сосуда А. (0; 4).
  12. Перелить из Б в А. (4; 0).
  13. Налить в сосуд Б до краёв. (4; 12).
  14. Перелить из Б в А. (5; 11).

Ответ: 11 л в сосуде Б (14 ходов). Финальное состояние: (5; 11).

Задача 14. Сосуды 7 л и 9 л — отмерь 8 л

Повышенный14 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (7 л) и Б (9 л). Получи ровно 8 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 9).
  2. Перелить из Б в А. (7; 2).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 2).
  4. Перелить из Б в А. (2; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (2; 9).
  6. Перелить из Б в А. (7; 4).
  7. Вылить воду из сосуда А. (0; 4).
  8. Перелить из Б в А. (4; 0).
  9. Налить в сосуд Б до краёв. (4; 9).
  10. Перелить из Б в А. (7; 6).
  11. Вылить воду из сосуда А. (0; 6).
  12. Перелить из Б в А. (6; 0).
  13. Налить в сосуд Б до краёв. (6; 9).
  14. Перелить из Б в А. (7; 8).

Ответ: 8 л в сосуде Б (14 ходов). Финальное состояние: (7; 8).

Задача 15. Сосуды 8 л и 13 л — отмерь 12 л

Повышенный16 шагов в решении

Даны пустые сосуды А (8 л) и Б (13 л). Получи ровно 12 л хотя бы в одном из них. Сколько ходов понадобится?

Показать подробное решение и ответ

Состояния записаны как (литры в А; литры в Б). Начало: (0; 0).

  1. Налить в сосуд Б до краёв. (0; 13).
  2. Перелить из Б в А. (8; 5).
  3. Вылить воду из сосуда А. (0; 5).
  4. Перелить из Б в А. (5; 0).
  5. Налить в сосуд Б до краёв. (5; 13).
  6. Перелить из Б в А. (8; 10).
  7. Вылить воду из сосуда А. (0; 10).
  8. Перелить из Б в А. (8; 2).
  9. Вылить воду из сосуда А. (0; 2).
  10. Перелить из Б в А. (2; 0).
  11. Налить в сосуд Б до краёв. (2; 13).
  12. Перелить из Б в А. (8; 7).
  13. Вылить воду из сосуда А. (0; 7).
  14. Перелить из Б в А. (7; 0).
  15. Налить в сосуд Б до краёв. (7; 13).
  16. Перелить из Б в А. (8; 12).

Ответ: 12 л в сосуде Б (16 ходов). Финальное состояние: (8; 12).

Когда решение вообще существует?

Иногда задача кажется бесконечной не из-за сложности, а потому что указанное количество невозможно отмерить по правилам. Если объёмы сосудов имеют общий делитель больше 1, получить количество литров, которое на него не делится, не получится. Например, сосудами на 4 и 6 литров нельзя получить ровно 3 литра. Можно отмерять только чётные целые значения.

Возможно

Сосуды 4 л и 6 л → 2 л. Заполни 6 л и перелей 4 л в меньший сосуд: в большом останется 2 л.

Невозможно

Сосуды 4 л и 6 л → 3 л. Все доступные состояния содержат чётное число литров.

Правило применимо к указанным условиям, когда можно наливать воду до края, полностью выливать её и переливать между сосудами без делений.

Проверка знаний: пять вопросов после практикума

  1. Что означает запись (2; 5), если первый сосуд вмещает 3 литра, а второй — 7?
  2. Почему нельзя остановить переливание через произвольное количество секунд и считать это точным измерением?
  3. Можно ли получить 5 литров сосудами объёмом 6 и 10 литров? Объясни.
  4. Если после хода получилось то же состояние, которое уже было, что это означает для поиска решения?
  5. Сосудами на 3 и 5 литров уже получили 4 литра. В каком из них должна находиться вода?
Ответы к контрольным вопросам
  1. 2 литра в А, 5 литров в Б.
  2. Потому что сосуды без делений, точное количество неизвестно.
  3. Нет: при таких правилах все получаемые количества кратны 2.
  4. Ходы образовали цикл, и нужно сменить последовательность.
  5. В сосуде объёмом 5 литров: в трёхлитровый 4 литра не поместятся.

Частые ошибки в задачах на переливание

Ошибка 1: «нальём примерно половину». Так нельзя, если на стенках нет делений. Ошибка 2: забыли про второй сосуд. Записывайте пару состояний после каждого хода. Ошибка 3: перелили «лишнюю» воду. Переход из А в Б ограничен свободным местом в Б. Ошибка 4: не проверили, можно ли получить цель. Посмотрите на вместимость и общий делитель.

Совет учителю и родителю. Для самостоятельной работы предложите сначала задачи 1–5, затем 6–10. Сложные варианты 11–15 подойдут для математического кружка. Чтобы не показывать ответы при печати, оставьте раскрывающиеся решения закрытыми.

Больше тренировочных материалов: карточки и задания по математике. Все числовые примеры на странице учебные; описаны полные шаги одного корректного решения для каждой задачи.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым