Анализ изменения выручки при изменении цены и спроса: задачи и решения для 9 класса

Прикладной кейс для 9 класса: цена, спрос и дневная выручка. Небольшая мастерская продаёт изготовленные сувениры. Данные условные, но единицы и математическая модель согласованы. Эта карточка изучает изменение выручки при реакции спроса на цену, а не выбор тарифа из двух готовых предложений.

Исходные данные и таблица наблюдений

При цене 10 тысяч тенге за изделие мастерская продаёт 120 штук в день. По оценке спрос уменьшается ровно на 6 изделий при увеличении цены на каждую 1 тысячу тенге. Допустим, что зависимость линейна на рассматриваемом диапазоне, а доступная цена измеряется целым числом тысяч тенге. Расходы на изготовление в первую модель выручки не включаются.

Составление модели и проверка области определения

Обозначим через p цену в тысячах тенге. Тогда количество продаж q(p)=120−6(p−10)=180−6p изделий в день. Дневная выручка равна цене одного изделия, умноженной на число проданных: R(p)=p(180−6p)=−6p²+180p тысяч тенге в день. Условия модели: p≥0 и q≥0, то есть 0≤p≤30; для цен целыми тысячами p∈{0,1,…,30}. При p=10 получаем R=1200 тыс. ₸/день — соответствует наблюдениям.

Выделим квадрат: R(p)=−6(p−15)²+1350. Поэтому наибольшая выручка достигается при p=15 тыс. ₸, дневной спрос тогда 90 изделий, выручка 1350 тыс. ₸. Значения p=14 и p=16 дают одинаковую выручку 1344 тыс. ₸, поскольку находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы. Это математическая оценка, а не гарантия реального спроса.

Связанные задания по единому бизнес-кейсу

1. Найдите спрос и выручку при p=8 тыс. ₸.
2. Проверьте исходную цену p=10 тыс. ₸.
3. Рассчитайте результат при цене 12 тыс. ₸.
4. Рассчитайте результат при цене 14 тыс. ₸.
5. Найдите спрос и выручку при p=15 тыс. ₸.
6. Рассчитайте результат при цене 16 тыс. ₸.
7. Рассчитайте результат при цене 18 тыс. ₸.
8. Рассчитайте результат при цене 20 тыс. ₸.
9. При какой максимальной цене модель даёт ненулевой или нулевой спрос? Найдите границу.
10. Какую цену надо выбрать для максимальной выручки в рамках модели?
11. Сравните выручки при p=10 и p=20 тыс. ₸.
12. Какова выручка при p=17 тыс. ₸ и насколько она ниже максимума?
13. Найдите все допустимые цены с выручкой 1296 тыс. ₸.
14. Рассчитайте выручку при цене 25 тыс. ₸.
15. Можно ли по данной модели подставлять p=31 тыс. ₸ как реальную цену?
16. Ежедневные неизменные расходы составляют 300 тыс. ₸. Какова максимальная прибыль R−300?

Ответы и проверка исходных единиц

Как обосновать вывод и не переоценить модель

Все значения цены заданы в тысячах тенге за изделие, спрос — в штуках в день, а R — в тысячах тенге в день. Нельзя выдавать R(15)=1350 за 1350 тенге: это 1 350 000 тенге за день. Значения цен p=12 и p=18 дают одинаковую выручку, но разные объёмы продаж (108 против 72 изделий); для выбора режима производства это существенное различие.

Проверка вывода: при повышении цены с 10 до 15 тыс. ₸ спрос сокращается со 120 до 90 изделий (−25%), но выручка возрастает с 1200 до 1350 тыс. ₸ (+12,5%). Повышение цены дальше 15 тыс. ₸ в данной модели уменьшает выручку. Если затраты зависят от количества изделий, максимум прибыли может находиться в другом месте: прибыль и выручка — не одно и то же. В пункте 16 специально предполагаются неизменные расходы, поэтому вершина не смещается.

В реальности линейная зависимость спроса от цены оценивается по данным и имеет ограниченную точность. Не применяйте её за пределами 0≤p≤30 и не объявляйте отрицательный спрос «плановым убытком». Для самостоятельного исследования сравните p=14,15,16 и объясните, почему значение в середине выше на 6 тысяч тенге. Это связано с квадратом расстояния до вершины: R(p)=1350−6(p−15)².

Дополнительная проверка для руководителя мастерской

Чтобы не запутаться в единицах, полезно заполнить три строки на бумаге: p — тысячи тенге за изделие; q — изделия в день; p·q — тысячи тенге в день. Например, 15 тыс. ₸/изделие умножить на 90 изделий/день = 1350 тыс. ₸/день. При записи 1 350 000 ₸/день число меняется в тысячу раз, а экономический результат остаётся тем же. Не следует смешивать «тысяч тенге» и «тенге» в одном уравнении без перевода единиц.

Спрос не просто сокращается при повышении цены: он реагирует на каждое увеличение на одну тысячу одинаковым уменьшением на 6 изделий. Это существенное модельное допущение. Например, при росте p от 12 до 13 тыс. ₸ ожидаемые продажи снижаются со 108 до 102 изделий. Выручка при этом растёт с 1296 до 1326 тыс. ₸, потому что повышение цены перевешивает потерю шести покупок. Вблизи вершины дальнейшее повышение почти невыгодно, а затем эффект падения спроса становится сильнее.

Результат пункта 13 объясняется симметрией квадратичной функции. Если две цены расположены одинаково далеко от оптимальных 15 тыс. ₸, то R у них совпадает, но число покупателей различно. При организации производства одна цена может оказаться удобнее другой из-за расхода сырья, складских запасов и ограниченной производственной мощности. Эти параметры не включены в исходную функцию R, поэтому без новых данных нельзя доказать, что оба решения равнозначны по прибыли и загрузке мастерской.

В задании 16 стоимость постоянна по отношению к цене и объёму продаж; поэтому вычитание фиксированных 300 тыс. ₸ сдвигает график выручки вниз, не изменяя положение его вершины. Если бы затраты включали, например, 2 тыс. ₸ на каждое проданное изделие, прибыль была бы P(p)=R(p)−2q(p)−300 (в тысячах тенге). Её максимум находился бы в другой точке — это отдельное расширение модели, а не предмет текущего задания.

Заключительная проверка допущений

1. Отрицательные цены и отрицательный спрос исключены по смыслу: укажите область 0≤p≤30 и целочисленность p, если цена задаётся шагом 1000 ₸.
2. Квадратичная выручка получается как произведение линейных зависимостей p и q(p), а не потому, что физический спрос «изначально параболический».
3. По таблице легко перепроверить вершину: R(14)=R(16)=1344 тыс. ₸, а R(15)=1350 тыс. ₸; округлять вверх или вниз цену до ближайшей тысячи не нужно.
4. Модель — учебная. За её пределами невозможно гарантировать ни реальный спрос, ни денежный результат без новых наблюдений.