Сравнение объёмов подобными многогранниками: примеры и объяснения для 11 класса

У подобных многогранников соответствующие линейные размеры относятся как k, площади подобных граней — как k², а объёмы — как k³. В этом тренажёре мы сравниваем именно подобные тела: проверяем коэффициент подобия, восстанавливаем размеры по отношению объёмов и отличаем необходимое условие от достаточного.

Шесть неверных рассуждений: найдите и исправьте ошибку

1. Рёбра второй подобной призмы вдвое длиннее. Значит, её объём тоже вдвое больше. Исправьте: ____________________
2. Площади соответствующих граней относятся как 9:1. Объёмы относятся как 9:1. Исправьте: ____________________
3. Объём второго многогранника в 64 раза больше. Все его рёбра в 64 раза длиннее. Исправьте: ____________________
4. При уменьшении всех рёбер в 2 раза объём делится на 2. Исправьте: ____________________
5. Два многогранника равного объёма обязательно подобны. Исправьте: ____________________
6. Коэффициент подобия можно взять равным нулю и получить похожее тело. Исправьте: ____________________

Задачи на отношение объёмов и соответствующих рёбер

1. Объём первого тела 18 см³, коэффициент увеличения k=3. Найдите новый объём. Решение: ____________________
2. Объём 320 дм³. Все рёбра подобного тела уменьшены вдвое. Его объём? Решение: ____________________
3. Объёмы подобных тел равны 75 и 600 см³. Во сколько раз отличаются соответствующие рёбра? Решение: ____________________
4. Соответствующие рёбра подобных многогранников равны 6 и 15 см. Во сколько раз отличаются объёмы? Решение: ____________________
5. Площади соответствующих граней относятся как 16:1. Найдите отношение объёмов. Решение: ____________________
6. Объёмы подобных тел равны 54 и 2 м³. Во сколько раз длиннее рёбра большего? Решение: ____________________
7. Первый объём 160 см³, а коэффициент увеличения равен 3/2. Вычислите второй объём. Решение: ____________________
8. Объём первого тела 125 см³, все рёбра второго составляют 0,8 соответствующих рёбер первого. Найдите второй объём. Решение: ____________________
9. Объём второго тела равен 1/27 объёма первого, а ребро первого — 18 см. Найдите соответствующее ребро второго. Решение: ____________________
10. У подобных многогранников объёмы относятся как 216:125. Найдите отношение соответствующих длин и площадей граней. Решение: ____________________

Ключ исправлений первых шести ошибок

1. Линейный коэффициент k=2, поэтому V₂/V₁=2³=8, не 2.
2. k²=9, значит k=3 и объёмы относятся как 27:1.
3. k³=64, значит k=4.
4. k=1/2; объём умножается на (1/2)³=1/8.
5. Равенство объёмов не доказывает подобие: формы и пропорции рёбер могут различаться.
6. Для невырожденных подобных тел нужен коэффициент k > 0; k=0 превращает тело в точку.

Ответы на самостоятельные задачи

О чём надо сказать в доказательстве

Формула k³ верна не для любых двух тел, а только для подобных многогранников. При равных объёмах нельзя заключить, что многогранники имеют одинаковые углы и одинаковые пропорции рёбер. Если сравнивают площади, берут квадрат коэффициента; если объёмы — куб. При обратной задаче о ребре из отношения объёмов извлекают кубический корень, а не квадратный.

Для самопроверки предложите краткое обоснование к каждому вычислению: «тела подобны; коэффициент соответствующих длин такой-то; отношение объёмов — его куб». Это защищает от ошибки механического умножения, а ответ должен иметь правильные кубические единицы или быть безразмерным отношением.

Метод доказательства отношения объёмов

Представьте прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c. У подобного тела размеры равны ka, kb, kc. Первый объём равен abc, второй — (ka)(kb)(kc)=k³abc; значит, отношение равно k³. Тот же закон действует для любого многогранника при равномерном пространственном подобии. Здесь важно слово «каждый»: увеличение только одной стороны не даёт кубического коэффициента.

Обратная задача решается в обратном порядке: сначала составляют отношение двух положительных объёмов, затем извлекают кубический корень. Если V₂/V₁=27/8, положительный коэффициент подобия равен 3/2. Возводить 27/8 ещё раз в куб — ошибка. Числа 216 и 125 особенно удобны для проверки: их кубические корни — 6 и 5, поэтому отношение соответствующих рёбер равно 6:5, а площадей — 36:25.

Сходство объёмов не равно геометрическому подобию. Например, параллелепипеды размером 1×2×6 см и 2×3×2 см имеют одинаковые объёмы 12 см³, но не являются подобными: наборы отношений соответствующих рёбер не удаётся сделать одинаковыми. Поэтому в задачах сперва проверьте условие «тела подобны», а потом пользуйтесь формулой k³.

Если вы масштабируете в уме, оцените разумность: при k больше единицы объём растёт, при 0<k<1 — уменьшается; отношение объёмов не имеет единиц измерения, тогда как каждый отдельный объём измеряется в кубических единицах.