Координатный метод поиска диагонали куба — тренажёр по математике, 11 класс

Углублённый тренажёр. Длина отрезка между противоположными вершинами куба вычисляется по трём взаимно перпендикулярным рёбрам. Для ребра a>0 d=√(a²+a²+a²)=a√3. Это пространственная диагональ; диагональ одной квадратной грани короче и равна a√2.

Доказательство координатным методом

Расположим вершину A в начале координат, а три выходящих из неё ребра вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Тогда A(0;0;0), противоположная G(a;a;a). Формула расстояния в пространстве даёт AG²=(a−0)²+(a−0)²+(a−0)²=3a². Поскольку a>0, получаем AG=a√3. Результат не зависит от положения или поворота куба: в задаче координатные оси выбраны вдоль рёбер.

Полезная обратная формула: a=d/√3=d√3/3. Единицы длины не меняются. Если d дано в сантиметрах, a получается в сантиметрах, а не в см².

Уровень 1 — длина диагонали по ребру (8 упражнений)

1. Ребро куба a=2 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
2. Ребро куба a=3 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
3. Ребро куба a=5 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
4. Ребро куба a=7 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
5. Ребро куба a=1/2 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
6. Ребро куба a=√2 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
7. Ребро куба a=4√3 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.
8. Ребро куба a=10 см. Найдите его пространственную диагональ и сравните с диагональю грани.

Проверка к первому уровню

1. d=a√3=2√3 см; диагональ грани a√2=2√2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
2. d=a√3=3√3 см; диагональ грани a√2=3√2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
3. d=a√3=5√3 см; диагональ грани a√2=5√2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
4. d=a√3=7√3 см; диагональ грани a√2=7√2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
5. d=a√3=√3/2 см; диагональ грани a√2=√2/2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
6. d=a√3=√6 см; диагональ грани a√2=2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
7. d=a√3=12 см; диагональ грани a√2=4√6 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.
8. d=a√3=10√3 см; диагональ грани a√2=10√2 см. Пространственная больше лицевой: √3>√2.

Уровень 2 — восстановление длины ребра (8 упражнений)

Действуйте обратным ходом. Например, при d=4√3 дм ребро равно 4 дм; при d=6√6 дм — 6√2 дм. Можно оставить ответ с корнем, если это точное значение.

9. Пространственная диагональ куба d=6√3 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
10. Пространственная диагональ куба d=8√3 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
11. Пространственная диагональ куба d=√3/3 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
12. Пространственная диагональ куба d=15√3 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
13. Пространственная диагональ куба d=2√6 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
14. Пространственная диагональ куба d=9 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
15. Пространственная диагональ куба d=5√15 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.
16. Пространственная диагональ куба d=√21 м. Вычислите ребро a с помощью обратной формулы.

Проверка ко второму уровню

9. a=d/√3=6 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=6√3.
10. a=d/√3=8 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=8√3.
11. a=d/√3=1/3 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=√3/3.
12. a=d/√3=15 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=15√3.
13. a=d/√3=2√2 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=2√6.
14. a=d/√3=3√3 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=9.
15. a=d/√3=5√5 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=5√15.
16. a=d/√3=√7 м. Проверка: умножение найденного ребра на √3 возвращает d=√21.

Уровень 3 — координаты противоположных вершин (8 упражнений)

В каждой задаче координатные оси направлены вдоль рёбер куба; поэтому при переходе от одной вершины к противоположной все три координаты изменяются по модулю на одно и то же положительное число a. Найдите эти изменения до извлечения корня.

17. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(1, 2, 3), G(5, 6, 7). Найдите длину AG и ребро куба.
18. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(-2, 0, 1), G(1, 3, 4). Найдите длину AG и ребро куба.
19. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(0, -4, 2), G(6, 2, 8). Найдите длину AG и ребро куба.
20. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(-3, -3, -3), G(-1, -1, -1). Найдите длину AG и ребро куба.
21. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(8, 1, 0), G(13, 6, 5). Найдите длину AG и ребро куба.
22. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(2, 5, -1), G(9, 12, 6). Найдите длину AG и ребро куба.
23. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(-1, 4, 4), G(0, 5, 5). Найдите длину AG и ребро куба.
24. В системе координат с осями вдоль рёбер куба противоположные вершины имеют координаты A(0, 0, 10), G(8, 8, 18). Найдите длину AG и ребро куба.

Полные решения третьего уровня

17. AG=√((4)²+(4)²+(4)²)=4√3 единиц длины; a=4. Все три модуля разностей координат равны 4, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
18. AG=√((3)²+(3)²+(3)²)=3√3 единиц длины; a=3. Все три модуля разностей координат равны 3, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
19. AG=√((6)²+(6)²+(6)²)=6√3 единиц длины; a=6. Все три модуля разностей координат равны 6, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
20. AG=√((2)²+(2)²+(2)²)=2√3 единиц длины; a=2. Все три модуля разностей координат равны 2, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
21. AG=√((5)²+(5)²+(5)²)=5√3 единиц длины; a=5. Все три модуля разностей координат равны 5, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
22. AG=√((7)²+(7)²+(7)²)=7√3 единиц длины; a=7. Все три модуля разностей координат равны 7, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
23. AG=√((1)²+(1)²+(1)²)=1√3 единиц длины; a=1. Все три модуля разностей координат равны 1, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.
24. AG=√((8)²+(8)²+(8)²)=8√3 единиц длины; a=8. Все три модуля разностей координат равны 8, поэтому точки действительно могут быть противоположными вершинами такого куба.

Самопроверка результата и пограничных случаев

При работе с координатами особенно важен порядок: сначала найти три разности, затем каждую возвести в квадрат и только после этого сложить. Формула √(u²+v²+w²) не равна |u|+|v|+|w|. В задачах 17–24 три равных по модулю приращения позволяют сразу заметить куб, однако геометрическое условие взаимной перпендикулярности рёбер всё равно необходимо.

Критерии: 1 балл за верную модель расстояния, 1 балл за вычисление и 1 балл за единицы измерения либо обратную проверку. Всего 72 балла. Ошибка «a√2 вместо a√3» считается ошибкой выбора фигуры, а не только неточной арифметикой.