Угол между диагональю куба и плоскостью грани: задачи и решения для 11 класса

Карточка «Найди ошибку и исправь». Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Для пространственной диагонали куба нельзя подставлять угол 45° только потому, что основание квадратное.

Один чертёж словами: три длины

Пусть у куба ребро a>0, отрезок AG соединяет две противоположные вершины, а H — ортогональная проекция G на плоскость грани, проходящую через A. Тогда AH=a√2 — диагональ грани, GH=a — высота над её плоскостью, AG=a√3. Прямоугольный треугольник AHG даёт tan α=GH/AH=1/√2; sin α=GH/AG=1/√3; cos α=AH/AG=√(2/3). Отсюда α≈35,26°.

Шесть ошибочных решений — найдите неверное действие

Сначала подчеркните в каждой фразе ошибочную длину, определение или угол. Затем сравните с подробным исправлением в конце блока. Обратите внимание: размер куба меняется, а искомый угол остаётся одинаковым.

1. Неверное решение: Если ребро a=6 см, угол между пространственной диагональю и гранью равен 45°, так как у грани квадрат.
2. Неверное решение: Проекция пространственной диагонали длиной a√3 на плоскость грани имеет длину a.
3. Неверное решение: Для куба a=3 см sin α=3/(3√2)=1/√2.
4. Неверное решение: Если удвоить ребро куба, искомый угол тоже удвоится.
5. Неверное решение: Угол диагонали куба с плоскостью грани равен углу между диагональю и нормалью к грани.
6. Неверное решение: В кубе со стороной 4 sin α=4/(4√2). Поэтому α=45°.

Девять самостоятельных задач

Ответьте числом, формулой или коротким доказательством. При вычислениях используйте точные корни, а угол при необходимости округляйте до сотых долей градуса.

7. Куб с ребром 6 см. Найдите пространственную диагональ, её ортогональную проекцию на основание и угол с основанием.
8. В кубе пространственная диагональ имеет длину 9√3 дм. Найдите длину её проекции на грань и перпендикулярной составляющей.
9. Укажите точную величину sin α для угла диагонали куба с плоскостью любой грани.
10. В кубе ребро 4 м. Найдите cos α, используя прямоугольный треугольник с пространственной диагональю.
11. Отметьте правильный вариант: 35,26°, 45°, 54,74° или 60° — угол между диагональю куба и плоскостью грани.
12. Куб имеет сторону 3√2 см. Чему равны длины проекции диагонали на грань и её перпендикулярной составляющей?
13. Как соотносятся угол диагонали с плоскостью грани и угол той же диагонали с нормалью к грани? Найдите угол с нормалью.
14. Сторона куба 5√2 мм. Найдите длину ортогональной проекции его пространственной диагонали на грань.
15. Объясните, почему угол между любой из четырёх пространственных диагоналей куба и любой гранью имеет одну и ту же острую величину.

Как исправить каждую ошибку

1. 45° — угол диагонали грани к стороне квадрата. Для пространственной диагонали: tan α=a/(a√2)=1/√2; α≈35,26°.
2. Проекция на грань — диагональ квадрата, её длина a√2. Отрезок длины a идёт по перпендикуляру к грани.
3. Знаменатель — длина пространственной диагонали 3√3: sin α=3/(3√3)=1/√3.
4. Подобные кубы имеют одинаковые углы. В отношении a/(a√2) масштаб сокращается, так что угол неизменен.
5. Угол с нормалью дополнителен до 90°: он примерно 54,74°, а с плоскостью — примерно 35,26°.
6. Исправление: длина AG=4√3, проекция=4√2, перпендикулярная составляющая=4; sin α=1/√3, α≈35,26°.

Полные ответы к самостоятельным задачам

7. AG=6√3 см; проекция=6√2 см; tan α=6/(6√2)=1/√2, поэтому α≈35,26°. Отношение не зависит от единицы измерения.
8. Ребро a=(9√3)/√3=9 дм, проекция a√2=9√2 дм, перпендикулярная составляющая 9 дм. Проверка: (9√2)²+9²=243=(9√3)².
9. sin α=1/√3=√3/3, так как противолежащий катет равен a, а гипотенуза a√3.
10. cos α=(4√2)/(4√3)=√(2/3)=√6/3; здесь берётся проекция диагонали на плоскость грани.
11. 35,26°. Значение 54,74° относится к углу с перпендикуляром к грани, а 45° — к диагонали квадратной грани.
12. Проекция a√2=(3√2)√2=6 см; перпендикулярная составляющая равна ребру 3√2 см.
13. Углы дополняют друг друга до 90°, поскольку нормаль перпендикулярна плоскости. Угол с нормалью ≈54,74°.
14. a√2=5√2·√2=10 мм. Длина проекции измеряется в миллиметрах, а не квадратных миллиметрах.
15. Из-за симметрии оси координат можно переназначить. Для каждой диагонали и любой грани абсолютная перпендикулярная компонента равна a, проекция имеет длину a√2. Следовательно, tan α=1/√2 и острый угол одинаков.

Почему все тригонометрические отношения совместимы

Для треугольника AHG выполняется (a√2)²+a²=(a√3)². Поэтому sin²α+cos²α=(1/3)+(2/3)=1. Поскольку 0<α<90° и обе составляющие положительны, речь именно об остром угле прямой с плоскостью. При отражении или перестановке осей численные значения не меняются.

Система оценки: по 2 балла за каждую из шести исправленных ошибок и 2 балла за девять самостоятельных задач, всего 30. Для ответа «около 54,74°» нужно явно указать, что это угол с нормалью, иначе решение задачи об угле с плоскостью неверно.