Логарифмическое уравнение с параметром в аргументе: самостоятельная работа по математике, 11 класс

Цель: при неизвестном x и произвольном действительном параметре a сначала получить формальное решение логарифмического уравнения, а затем проверить положительность каждого аргумента. Во всех заданиях основание логарифма положительно и не равно 1. Параметр a нельзя автоматически считать положительным.

Алгоритм: (1) выпишите ОДЗ; (2) используйте равенство логарифмов одного основания или определение логарифма; (3) выразите x; (4) подставьте результат обратно в ОДЗ; (5) отдельно разберите параметр, при котором коэффициент при x обращается в нуль. Условие на аргумент строгое: log20 не существует.

Содержание статьи4 раздела

Быстрая диагностика

  • log2(x+a)=3 означает x+a=8, поэтому x=8−a — допустим для любого a: под логарифмом остаётся 8.
  • log3(x+a)=log3(5−x) сначала требует x+a>0 и 5−x>0; равенство аргументов ещё не гарантирует допустимость.
  • В log2((a−1)x+4)=2 при a=1 исходное равенство верно для любого действительного x, потому что аргумент постоянно равен 4.

Десять самостоятельных заданий

  1. log2(x+a)=log2(3x−1). Найдите все x в зависимости от a.

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  2. log3(x−a)=2. Сколько решений при любом a?

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  3. log2((a−2)x+4)=2. Разберите a=2.

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  4. log5(x+a)=log5(2a−x).

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  5. log2(x²+a)=1. Установите число действительных корней.

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  6. log3(x+a)=log3(2−x).

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  7. log2(a x+2)=1. Выясните роль a=0.

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  8. log4(x+a)=log4(a−3x).

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  9. log2((a+1)x−3)=0. Определите x и число решений.

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

  10. log3(x²+a)=log34. Когда корни различны?

    Место для ОДЗ и решения: ____________________________________

Ключ для самопроверки

Задание Условие на параметр, проверка аргумента и ответ
1 x=(a+1)/2. Оба аргумента тогда равны (3a+1)/2. При a>−1/3 один корень; при a≤−1/3 корней нет.
2 x=a+9 для всех a∈ℝ, поскольку x−a=9>0. Всегда одно решение.
3 После возведения в степень (a−2)x=0. При a≠2 единственный x=0; при a=2 все x∈ℝ: аргумент равен 4.
4 x=a/2; общий аргумент 3a/2. При a>0 единственный корень x=a/2, при a≤0 решений нет.
5 x²=2−a, аргумент в корнях равен 2>0. При a<2 два корня ±√(2−a); при a=2 один x=0; при a>2 нет.
6 x=1−a/2; аргументы равны (a+2)/2. a>−2: один корень; a≤−2: ни одного.
7 a x+2=2, то есть a x=0. При a≠0 x=0; при a=0 любой x, ведь log22=1.
8 x=0; обе стороны определены только при a>0. При a>0 один корень 0, иначе нет.
9 (a+1)x−3=1, поэтому (a+1)x=4. При a≠−1: x=4/(a+1), аргумент равен 1; при a=−1: −3=1 невозможно, корней нет.
10 x²=4−a и исходный аргумент в корнях равен 4. При a<4 два разных x=±√(4−a); при a=4 один x=0; при a>4 нет.

Разбор трёх типичных ошибок

  1. «Логарифмы равны — аргументы равны» без ОДЗ. В задании 1 при a=−1/3 формальный x=1/3 даёт нулевой аргумент. Это не корень; при a<−1/3 аргумент отрицателен.
  2. Деление на выражение с параметром. В задании 3 нельзя делить на a−2 до проверки a=2, иначе теряются бесконечно многие решения.
  3. Потеря второго корня. В задании 5 при a<2 число 2−a положительно: квадратное уравнение даёт два числа с противоположными знаками.

Оценивание: один балл за правильную классификацию значений a и один за корни с проверкой ОДЗ в каждом задании (20 баллов). Отсутствие проверки аргументов означает, что решение не завершено. Указанные формулы применимы к действительным a и x.

Полезное наблюдение: ограничение на параметр возникает не из самого слова «логарифм», а из конкретного аргумента после подстановки найденного x. Поэтому уравнение из задания 2 решается при любом a, а очень похожее по записи задание 4 — только при a>0.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым