Показательное уравнение с параметром и числом корней: задания от простого к сложному, 11 класс

Здесь «число корней» означает число различных действительных значений x. При замене t=bx обязательно t>0 (b>0, b≠1). Нулевой или отрицательный корень уравнения для t не даёт корня исходного показательного уравнения.

Печатный рабочий лист рассчитан на два независимых варианта. В каждом задании определите число решений в зависимости от действительного параметра a; если сказано «найдите корни», запишите и их. Для подсчёта одинаковые значения x, получившиеся из разных множителей, учитываются один раз. Поля для решения оставлены намеренно.

Содержание статьи5 разделов

Вариант 1 — восемь заданий

  1. 2<sup>x</sup>=a. Определите число корней.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  2. 3<sup>2x</sup>=a. Укажите число корней.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  3. 2<sup>|x|</sup>=a. Сколько корней?

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  4. 4<sup>x</sup>+4<sup>−x</sup>=a. Сколько решений?

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  5. (2<sup>x</sup>−2)(2<sup>x</sup>−a)=0.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  6. (2<sup>x</sup>−1)²=a.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  7. 3<sup>x</sup>=a².

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  8. 2<sup>x</sup>+2<sup>x</sup>=a.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

Вариант 2 — восемь заданий

  1. 5<sup>x</sup>=a−3.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  2. 2<sup>2x</sup>−(a+3)·2<sup>x</sup>+3a=0.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  3. 9<sup>x</sup>=a²+1.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  4. 2<sup>|x−1|</sup>=a.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  5. 3<sup>x</sup>+3<sup>−x</sup>=a.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  6. (4<sup>x</sup>−1)(4<sup>x</sup>−a²)=0.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  7. 5<sup>2x</sup>−2a·5<sup>x</sup>+a²=0.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

  8. 2<sup>x</sup>+2<sup>−x</sup>=a²+1.

    Замена/обоснование: ____________________   Случаи a: ____________________

Ответы — вариант 1

№ Полный ответ и необходимая проверка
1 a>0: один, x=log2a; a≤0: нет, потому что 2x>0.
2 a>0: один, x=(log3a)/2; a≤0: нет.
3 a<1: ноль; a=1: один x=0; a>1: два x=±log2a.
4 Пусть t=4x>0. t+1/t≥2, равенство лишь t=1. a<2: 0; a=2: 1 (x=0); a>2: 2.
5 x=1 всегда. Если a>0 и a≠2, добавится x=log2a: два; при a≤0 либо a=2: один.
6 a<0: 0; a=0: 1; 0<a<1: 2, так как t=1±√a оба положительны; a≥1: 1, поскольку 1−√a≤0.
7 a=0: 0; a≠0: 1, x=log3(a²).
8 2·2x=a: при a>0 один x=log2(a/2); при a≤0 нет.

Ответы — вариант 2

№ Полный ответ и необходимая проверка
1 a>3: 1, x=log5(a−3); a≤3: 0.
2 t=2x>0, (t−3)(t−a)=0. Один x=log23 всегда; второй при a>0 и a≠3.
3 Для любого a правая часть положительна, значит одно решение x=log9(a²+1).
4 a<1: 0; a=1: 1 (x=1); a>1: 2 (x=1±log2a).
5 a<2: 0; a=2: 1 (x=0); a>2: 2. Это t+1/t=a при t>0.
6 x=0 всегда. При a≠0 и |a|≠1 появляется второй x=log4(a²). При a=0 или |a|=1 только один.
7 (5x−a)²=0. Если a>0 один x=log5a; если a≤0 ни одного.
8 Правая сторона ≥1; левая ≥2. Если |a|<1: 0; если |a|=1: 1; если |a|>1: 2.

Как оценить работу

За каждую задачу начисляется 2 балла: 1 балл за корректную замену, ограничение t>0 или анализ диапазона функции; 1 балл — за полное разбиение параметра на случаи и правильное число различных корней. Итого 16 баллов за вариант. 14–16 — уверенное владение; 10–13 — проверьте граничные значения; менее 10 — повторите положительность показательной функции.

  • Проверяйте границы: при a=2 в задании 4 две формальные ветви сливаются в x=0, так что корень один.
  • Следите за кратностью: двойной корень по t в задании 7 варианта 2 всё равно означает только один различный x.
  • Проверяйте положительность t: в задании 6 при a=1 ветвь t=0 недопустима.
  • Параметр допускает отрицательные значения, если его роль этого не запрещает: в задании 3 варианта 2 a может быть любым действительным числом.

Контрольный вопрос: может ли показательное уравнение иметь бесконечно много решений в этом рабочем листе? В представленных заданиях нет: после преобразования остаётся непостоянное равенство и конечное число допустимых положительных t. Это не общий запрет для всех возможных показательных тождеств.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым