Дробно-рациональное неравенство с тремя нулями: самостоятельная работа по математике, 11 класс

Для выражения R(x)=(x−a)(x−b)(x−c)/(x−d) при разных a, b, c, d числитель имеет три нуля, а знаменатель обращается в нуль в отдельной точке. Последняя всегда исключена. Корни числителя включают в ответ только при знаках ≤ или ≥. Знак дроби меняется при переходе через каждый простой корень и каждый простой полюс.

Порядок работы: найдите три нуля числителя; добавьте запрещённую точку d; расположите все четыре точки по возрастанию; определите знак на крайнем интервале и чередуйте знаки; выберите промежутки нужного знака. Для приведённой дроби старшие коэффициенты равны 1, поэтому далеко справа R(x)>0. Это не отменяет проверку полюса.

Шесть чужих ошибок: найдите и исправьте

1. [(x+4)(x+1)(x−3)]/(x−1) ≥ 0 Неверное рассуждение: В условии R(x)≥0 разрешено поставить закрашенную точку x=1, ведь знак нестрогий.

   Исправление: _______________________

2. [(x+3)(x−2)(x−5)]/(x) < 0 Неверное рассуждение: Достаточно трёх нулей числителя; точка x=0 не влияет на знак.

   Исправление: _______________________

3. [(x+5)(x+2)(x−4)]/(x−2) > 0 Неверное рассуждение: При переходе через простой нуль x=−2 знак не меняется.

   Исправление: _______________________

4. [(x+6)(x+1)(x−2)]/(x−4) ≤ 0 Неверное рассуждение: При знаке ≤ все три нуля числителя нужно вычеркнуть.

   Исправление: _______________________

5. [(x+2)(x−1)(x−6)]/(x+4) ≥ 0 Неверное рассуждение: Можно умножить неравенство на x+4 без разбиения по знаку этого множителя.

   Исправление: _______________________

6. [(x+5)(x)(x−4)]/(x−2) < 0 Неверное рассуждение: Так как числитель кубический, а знаменатель линейный, при x→−∞ знак дроби обязательно отрицательный.

   Исправление: _______________________

Самостоятельные задания на таблицу знаков

В заданиях № 7–16 выпишите четыре критические точки, укажите знак на каждом из пяти открытых промежутков, затем сформируйте ответ. Для нестрогого неравенства отдельно решите, какие нули входят в множество решений.

7. [(x+7)(x+3)(x−1)]/(x−5) > 0

   Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

8. [(x+2)(x−3)(x−8)]/(x−6) ≤ 0

   Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

9. [(x+8)(x+1)(x−4)]/(x+3) ≥ 0

   Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

10. [(x+6)(x−2)(x−9)]/(x+1) < 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

11. [(x+4)(x−3)(x−7)]/(x) > 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

12. [(x+9)(x+2)(x−5)]/(x−3) ≤ 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

13. [(x+3)(x−1)(x−7)]/(x+5) ≥ 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

14. [(x+7)(x−2)(x−4)]/(x+1) < 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

15. [(x+5)(x+3)(x−6)]/(x−1) ≤ 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

16. [(x+8)(x)(x−3)]/(x+2) > 0

    Критические точки: ____________   Интервалы решения: ____________

Полный ключ и проверка ошибок

Шесть исправлений с объяснениями

1. Ошибка 1: точка x=1 — нуль знаменателя, дробь там не определена, знак ≥ не делает её допустимой.
2. Ошибка 2: знак дроби зависит и от знаменателя. При переходе через x=0 знаменатель меняет знак.
3. Ошибка 3: каждый простой действительный нуль меняет знак; при x=−2 знак меняется, если остальные множители там ненулевые.
4. Ошибка 4: при ≤ нули числителя как раз включаются (если не совпадают с полюсом).
5. Ошибка 5: x+4 может быть отрицательным. Умножение без проверки знака может развернуть неравенство.
6. Ошибка 6: степени числителя и знаменателя отличаются на 2, поэтому далеко слева R(x) ведёт себя как x² и положительна.

Проверка: возьмите внутри любого интервала число, которое не равно нулю числителя и знаменателя, подставьте его и установите знак. При проверке граничных точек нули числителя дают R(x)=0, а полюс не имеет значения. Ни одно допустимое решение не может равняться запрещённому числу d.