Уравнение с корнем и модулем в одном условии — карточки с ответами, 11 класс

Практическая карточка. Исследование уравнений, в которых одновременно встречаются квадратный корень и модуль. Выясняем, когда можно возводить в квадрат, как записывать ОДЗ и почему обязательно проверять найденные значения.

Наблюдение → гипотеза

Рассмотрим √(x+1) = |x−1|. Левая и правая части неотрицательны. ОДЗ: x ≥ −1. Возводим обе стороны в квадрат: x+1=(x−1)², откуда x(x−3)=0. Получаем x=0 и x=3. Оба корня допустимы: √1=|−1|=1 и √4=|2|=2.

Гипотеза. Если √F(x)=|G(x)|, то на ОДЗ F(x)≥0 равенство равносильно F(x)=G(x)², так как обе стороны исходного равенства неотрицательны. Но если правая часть не под модулем, её знак нужно проверять дополнительно.

Проверка гипотезы на других формах

1. Сравните √(x+1)=x−1 с первым уравнением. После возведения в квадрат кандидаты 0 и 3, но x=0 даёт 1=−1, а x=3 подходит. В условии без модуля нужен также x−1 ≥ 0.
2. Для √|x−4|=2 квадрат корня равен модулю: |x−4|=4, значит x=0 либо x=8. Здесь область допустимых x — все действительные числа.
3. Для √(|x−2|+1)=3 получаем |x−2|=8, следовательно x=−6 или x=10. Обе проверки дают √9=3.

Самостоятельные задания: от прямой подстановки к двум ветвям

1. √(x+1) = |x−1|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
2. √(x) = |x−2|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
3. √(x+5) = |x−1|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
4. √(x+11) = |x−1|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
5. √(x+2) = |x−4|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
6. √(x−2) = |x−4|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
7. √(x+4) = |x−2|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
8. √(x+12) = |x|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
9. √(x+10) = |x−2|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
10. √(x+3) = |x−3|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
11. √(x) = |x−6|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
12. √(x+20) = |x|. Выпишите ОДЗ, найдите все действительные корни и проверьте каждый.
13. Решите √|x−10| = 3. Проверьте обе ветви модуля.
14. Решите √(|x+3|+4) = 4. Объясните два значения x.
15. Почему из √(x+1)=x−1 после возведения в квадрат возникает лишний корень? Укажите его и истинный корень.
16. Укажите, равносильны ли на ОДЗ уравнения √(x+5)=|x−1| и x+5=(x−1)². Объясните.

Ответы и полный разбор по номерам

1. x=0 или x=3. ОДЗ: x+1 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(0))(x−(3))=0. Проверка: при x=0 обе части равны 1, при x=3 обе части равны 2.
2. x=1 или x=4. ОДЗ: x ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(1))(x−(4))=0. Проверка: при x=1 обе части равны 1, при x=4 обе части равны 2.
3. x=-1 или x=4. ОДЗ: x+5 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(-1))(x−(4))=0. Проверка: при x=-1 обе части равны 2, при x=4 обе части равны 3.
4. x=-2 или x=5. ОДЗ: x+11 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(-2))(x−(5))=0. Проверка: при x=-2 обе части равны 3, при x=5 обе части равны 4.
5. x=2 или x=7. ОДЗ: x+2 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(2))(x−(7))=0. Проверка: при x=2 обе части равны 2, при x=7 обе части равны 3.
6. x=3 или x=6. ОДЗ: x−2 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(3))(x−(6))=0. Проверка: при x=3 обе части равны 1, при x=6 обе части равны 2.
7. x=0 или x=5. ОДЗ: x+4 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(0))(x−(5))=0. Проверка: при x=0 обе части равны 2, при x=5 обе части равны 3.
8. x=-3 или x=4. ОДЗ: x+12 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(-3))(x−(4))=0. Проверка: при x=-3 обе части равны 3, при x=4 обе части равны 4.
9. x=-1 или x=6. ОДЗ: x+10 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(-1))(x−(6))=0. Проверка: при x=-1 обе части равны 3, при x=6 обе части равны 4.
10. x=1 или x=6. ОДЗ: x+3 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(1))(x−(6))=0. Проверка: при x=1 обе части равны 2, при x=6 обе части равны 3.
11. x=4 или x=9. ОДЗ: x ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(4))(x−(9))=0. Проверка: при x=4 обе части равны 2, при x=9 обе части равны 3.
12. x=-4 или x=5. ОДЗ: x+20 ≥ 0. После возведения в квадрат: (x−(-4))(x−(5))=0. Проверка: при x=-4 обе части равны 4, при x=5 обе части равны 5.
13. |x−10|=9, откуда x=1 или x=19; в обоих случаях √9=3.
14. |x+3|=12, поэтому x=9 или x=−15; обе подстановки дают √16=4.
15. x=0 — посторонний корень: √1=1, но x−1=−1. Верный корень x=3: √4=2 и 3−1=2. При исходном уравнении обязательна проверка x−1≥0.
16. Да. ОДЗ x≥−5; после возведения в квадрат обе части исходного уравнения неотрицательны, поэтому обратный переход корректен на ОДЗ. Решение: x=−1 и x=4.

Вывод исследования

Нельзя автоматически объявлять любую операцию возведения в квадрат равносильной: если хотя бы одна сторона может быть отрицательной, получатся посторонние кандидаты. При наличии |G(x)| этот риск для правой части отсутствует; остаются ОДЗ и точная проверка подстановкой.

Критерии работы: 1 балл за корректную ОДЗ, 1 — за кандидатов, 1 — за подстановку и окончательное множество корней. При решении заданий 13–14 обе ветви модуля обязательны.