Система уравнений с показательной и линейной функцией: самостоятельная работа по математике, 11 класс

Практическая карточка. Тематический тренажёр для 11 класса: найти точки пересечения показательной и линейной функции, то есть решить систему из уравнений y=c·b^(x−h) и y=mx+n. Важно найти ВСЕ пары (x; y), а не только абсциссы.

Короткая памятка

Подстановка равных выражений для y даёт одно уравнение от x. Функция b^x при b>1 строго возрастает и выпукла: прямая может пересечь её не более чем в двух точках. В некоторых заданиях прямая убывает — тогда пересечение не больше одного. После нахождения x всегда вычислите y по обоим исходным уравнениям.

Разобранный пример. Система y=2^x, y=x+1 имеет пары (0;1) и (1;2): при x=0 обе функции равны 1, при x=1 — 2. Других корней нет: разность 2^x−x−1 строго выпукла, а строго выпуклая экспонента минус прямая может пересекать нуль не более двух раз (её производная строго возрастает).

Серия I. Найдите две точки пересечения

1. y=3^x, y=2x + 1. Найдите все пары (x; y).
2. y=2·2^x+1, y=2x + 4. Найдите все пары (x; y).
3. y=4^x, y=3x + 1. Найдите все пары (x; y).
4. y=2·3^x+2, y=4x + 10. Найдите все пары (x; y).
5. y=3·2^x−2, y=3x − 3. Найдите все пары (x; y).
6. y=5^x+1, y=4x + 5. Найдите все пары (x; y).
7. y=4·2^x−3, y=4x − 8. Найдите все пары (x; y).
8. y=2·4^x+1, y=6x + 8. Найдите все пары (x; y).
9. y=3·3^x, y=6x + 3. Найдите все пары (x; y).
10. y=2·5^x−1, y=8x − 6. Найдите все пары (x; y).
11. y=5·2^x+2, y=5x + 15. Найдите все пары (x; y).
12. y=4·3^x+1, y=8x + 12. Найдите все пары (x; y).

Серия II. Единственная точка или ни одной?

13. y=2^x, y=1−x. Определите число решений и все их координаты.
14. y=3^x, y=1−2x. Найдите точку и докажите единственность.
15. y=4^x, y=1−3x. Объясните, почему второй корень невозможен.
16. y=2^x, y=−2. Есть ли пересечения?
17. y=3^x, y=−1. Есть ли решения? Постоянная функция y=−1 является горизонтальной прямой.

Серия III. Составьте собственную систему

18. Запишите систему вида y=2^x−2 и y=mx+n так, чтобы точки (2;1) и (3;2) лежали на обеих кривых. Найдите m и n.
19. Выясните, сколько решений у y=3^x, y=3x+1. Проверьте x=0 и x=1, затем проверьте, подходит ли x=2.
20. Исправьте утверждение: «если два графика имеют две общие точки, система имеет только два значения y, поэтому можно не выписывать x». Покажите полный ответ для y=2^x, y=x+1.

Ответы в порядке заданий

1. (0; 1) и (1; 3). Проверка: при x=0 показатель x−(0) равен 0, значит y=1; при x=1 он равен 1, значит y=3. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
2. (-1; 2) и (0; 4). Проверка: при x=-1 показатель x−(-1) равен 0, значит y=2; при x=0 он равен 1, значит y=4. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
3. (0; 1) и (1; 4). Проверка: при x=0 показатель x−(0) равен 0, значит y=1; при x=1 он равен 1, значит y=4. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
4. (-2; 2) и (-1; 6). Проверка: при x=-2 показатель x−(-2) равен 0, значит y=2; при x=-1 он равен 1, значит y=6. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
5. (2; 3) и (3; 6). Проверка: при x=2 показатель x−(2) равен 0, значит y=3; при x=3 он равен 1, значит y=6. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
6. (-1; 1) и (0; 5). Проверка: при x=-1 показатель x−(-1) равен 0, значит y=1; при x=0 он равен 1, значит y=5. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
7. (3; 4) и (4; 8). Проверка: при x=3 показатель x−(3) равен 0, значит y=4; при x=4 он равен 1, значит y=8. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
8. (-1; 2) и (0; 8). Проверка: при x=-1 показатель x−(-1) равен 0, значит y=2; при x=0 он равен 1, значит y=8. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
9. (0; 3) и (1; 9). Проверка: при x=0 показатель x−(0) равен 0, значит y=3; при x=1 он равен 1, значит y=9. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
10. (1; 2) и (2; 10). Проверка: при x=1 показатель x−(1) равен 0, значит y=2; при x=2 он равен 1, значит y=10. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
11. (-2; 5) и (-1; 10). Проверка: при x=-2 показатель x−(-2) равен 0, значит y=5; при x=-1 он равен 1, значит y=10. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.
12. (-1; 4) и (0; 12). Проверка: при x=-1 показатель x−(-1) равен 0, значит y=4; при x=0 он равен 1, значит y=12. Прямая проходит через обе точки. Из строгой выпуклости графика других пересечений нет.

13. Одна точка (0;1): при x=0 обе стороны равны 1. 2^x строго возрастает, а 1−x строго убывает, поэтому другой точки быть не может.
14. Одна точка (0;1). Правая часть убывает, левая возрастает, пересечение единственное.
15. (0;1). Уравнение 4^x=1−3x имеет максимум одно решение из-за противоположной монотонности сторон.
16. Решений нет: 2^x>0 для любого действительного x, а −2<0.
17. Решений нет: 3^x положительна при любом действительном x, а постоянная линейная функция y=−1 отрицательна.

18. m=(2−1)/(3−2)=1, n=1−2=−1. Поэтому y=x−1. Решения (2;1) и (3;2); других нет по строгой выпуклости.
19. Две точки: (0;1) и примерно (1.600; 5.800). При x=1 левая часть 3, правая 4, при x=2 левая 9, правая 7, поэтому второй корень между 1 и 2. Строгая выпуклость обеспечивает не более двух пересечений. Целым второй корень НЕ является.
20. Ответ обязан содержать упорядоченные пары (x; y): (0;1) и (1;2). Только значения y без x не определяют решение системы.

Самопроверка

Для заданий 1–12 поставьте по одному баллу за каждую правильно найденную пару (всего 24), для 13–20 — по 2 балла за ответ и пояснение. Не следует полагаться только на рисунок: проверяйте пары подстановкой. Для задания 19 допускается интервал 1<x<2 и десятичное приближение с точностью до 0,01.