Анализ количества корней уравнения по графику с параметром: задания от простого к сложному, 11 класс

Практическая карточка. График y=f(x) рассматриваем вместе с горизонтальной прямой y=a. Каждое пересечение даёт один действительный корень f(x)=a. Важно учитывать вершины, закрытые границы области определения и участки, совпадающие с прямой.

Вступительная задача: три уровня горизонтальной прямой

Пусть f(x)=(x−2)²+1. Вершина графика V(2;1), ветви направлены вверх. При a<1 пересечений нет; при a=1 прямая касается вершины — один корень; при a>1 — два. Это два способа решения: посмотреть число пересечений на схематическом графике или решить (x−2)²=a−1 и проверить знак правой части.

Два метода на других графиках

Метод 1: счёт пересечений по рисунку, описанному таблицей

Для g(x)=5−(x+1)² вершина (−1;5), график имеет максимум 5. Поэтому y=6 не пересекает график, y=5 имеет одно касание, y=1 — два пересечения. Для модуля h(x)=|x−3|−2 вершина (3;−2), график V-образный.

Метод 2: свойства функции и ограничения области определения

Если f(x)=|x|+|x−2|, на всём отрезке [0;2] значение равно 2. Горизонтальная прямая y=2 совпадает с частью графика и даёт бесконечно много решений. Ограничение x∈[0;3] может удалить левое пересечение, которое было бы у полной параболы.

Практикум: определите число корней и, где возможно, сами корни

1. По графику y=(x−2)²+1 сколько корней уравнения f(x)=0? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
2. По графику y=(x−2)²+1 сколько корней уравнения f(x)=1? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
3. По графику y=(x−2)²+1 сколько корней уравнения f(x)=5? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
4. По графику y=5−(x+1)² сколько корней уравнения f(x)=5? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
5. По графику y=5−(x+1)² сколько корней уравнения f(x)=6? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
6. По графику y=5−(x+1)² сколько корней уравнения f(x)=1? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
7. По графику y=|x−3|−2 сколько корней уравнения f(x)=−2? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
8. По графику y=|x−3|−2 сколько корней уравнения f(x)=0? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
9. По графику y=|x−3|−2 сколько корней уравнения f(x)=−3? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
10. По графику y=|x|+|x−2| сколько корней уравнения f(x)=2? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
11. По графику y=|x|+|x−2| сколько корней уравнения f(x)=3? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
12. По графику y=|x|+|x−2| сколько корней уравнения f(x)=1? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
13. По графику y=|x²−1| сколько корней уравнения f(x)=0? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
14. По графику y=|x²−1| сколько корней уравнения f(x)=1? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
15. По графику y=|x²−1| сколько корней уравнения f(x)=1/2? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
16. По графику y=|x²−1| сколько корней уравнения f(x)=2? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
17. По графику y=(x−1)², x∈[0;3] сколько корней уравнения f(x)=1? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
18. По графику y=(x−1)², x∈[0;3] сколько корней уравнения f(x)=3? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
19. По графику y=(x−1)², x∈[0;3] сколько корней уравнения f(x)=4? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
20. По графику y=1/(x−1), x≠1 сколько корней уравнения f(x)=0? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
21. По графику y=1/(x−1), x≠1 сколько корней уравнения f(x)=2? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.
22. По графику y=x³ сколько корней уравнения f(x)=7? Если число конечно и корни можно вычислить, найдите их.

Короткая карта характерных уровней

Подробные ответы и пограничные ситуации

1. 0: минимальное значение равно 1; горизонтальная прямая ниже вершины.
2. 1: x=2 (касание вершины).
3. 2: x=0 и x=4, так как (x−2)²=4.
4. 1: x=−1, вершина максимума.
5. 0: прямая лежит выше максимума 5.
6. 2: x=−3 и x=1, потому что (x+1)²=4.
7. 1: x=3.
8. 2: x=1 и x=5.
9. 0: ниже минимума −2.
10. Бесконечно много: каждое x∈[0;2] подходит.
11. 2: x=−1/2 и x=5/2, ведь вне [0;2] выражение равно 2−2x или 2x−2.
12. 0: минимальное значение 2.
13. 2: x=−1 и x=1.
14. 3: x=0 и x=±√2.
15. 4: x=±√(1/2), x=±√(3/2).
16. 2: x=±√3.
17. 2: x=0 и x=2.
18. 1: x=1+√3; другое значение x=1−√3 исключено ограничением.
19. 1: x=3, вторая ветвь вне указанного отрезка.
20. 0: дробь с ненулевым числителем никогда не равна нулю.
21. 1: x=3/2, что допустимо.
22. 1: x=∛7; кубическая функция строго возрастает.

Три ловушки

• Не путайте касание и два пересечения: в вершине параболы один корень, даже если он кратный при решении уравнения.
• Не пропускайте бесконечно много решений, если часть графика горизонтальна: в задании 10 каждый x из [0;2] является корнем.
• Если область определения ограничена, удаляйте точки вне неё. В заданиях 18–19 формально найденные корни нельзя считать без проверки x∈[0;3].

Алгоритм для учителя и ученика: как набросать график без компьютера

1. Установите область определения. Например, дробь 1/(x−1) не существует при x=1; значит, отметьте вертикальную прямую x=1 как исключённую из области.
2. Найдите опорные точки, вершины и участки монотонности. У (x−1)² минимум достигается при x=1; у 5−(x+1)² максимум при x=−1. Для модулей выделите места смены формулы.
3. Проведите мысленно горизонтальную прямую y=a. Если она проходит через вершину, считайте касание одной точкой, если вдоль горизонтального отрезка графика — бесконечно многими точками.
4. Пересчитайте найденные x с учётом ограничений из условия. Указание x∈[0;3] означает, что даже правильный корень x<0 не является решением данной задачи.
5. В самом конце проверьте хотя бы одну точку подстановкой: например, в задаче 14 при x=0 действительно |0²−1|=1, а при x=±√2 получаем |2−1|=1.

Помните разницу между корнем уравнения и кратностью корня. В задании 2 при a=1 алгебраически получаем (x−2)²=0, где x=2 имеет кратность два, но различных решений ровно одно. Аналогично два симметричных корня ±√3 считаются двумя разными значениями, а не одним «по модулю».

Критерии: в каждом номере 1 балл за число корней, ещё 1 за корни и аргумент; в случаях «нет» и «бесконечно много» достаточно ясного обоснования. Все переменные и параметры действительные, если в условии не указано иное.