Выбор верного признака равенства по текстовому описанию чертежа: проверочная работа по математике, 7 класс

Класс: 7. Цель: выбирать признак равенства треугольников по словесному чертежу и обосновывать, почему данных достаточно или недостаточно. Формат: задания для работы на уроке, самостоятельной проверки и печати.

Как определить признак равенства без рисунка

Когда геометрическая задача дана словами, нельзя выбирать признак по внешнему виду воображаемого чертежа. Нужно выписать соответствующие элементы двух треугольников: именно какие стороны и углы равны и где расположен заданный угол. Один и тот же набор чисел может относиться к разным ситуациям.

Проверяем три основных признака: по двум сторонам и углу между ними (СУС); по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ); по трём сторонам (ССС). По двум сторонам и углу, не лежащему между ними, заключение в общем случае недопустимо. Равенство трёх углов само по себе означает подобие, а не равенство.

Порядок работы: 1) назовите сравниваемые треугольники; 2) запишите пары соответствующих вершин; 3) найдите данные равенства; 4) установите, действительно ли угол включён между сторонами, либо оба угла прилежат к названной стороне; 5) проверьте, хватает ли данных. Буквы играют роль координат описания, а не украшения.

Как отвечать: укажите «СУС», «УСУ», «ССС» или «данных недостаточно» и приведите по меньшей мере одну фразу-доказательство. Все равенства далее относятся к соответствующим сторонам либо углам названных треугольников.

Уровень 1. Прочитайте описание — распознайте основание

1. Треугольники ABC и DEF: AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF.
2. В треугольниках KLM и PQR известны KL = PQ, ∠LKM = ∠QPR и ∠KLM = ∠PQR.
3. Для треугольников TUV и XYZ даны TU = XY, UV = YZ, TV = XZ.
4. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
5. Для треугольников RST и MNP равны все соответствующие углы, но о длинах сторон ничего не известно.
6. У ABC и DEF совпадают по длине BC и EF; ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE.
7. У треугольников HJK и LMN стороны HJ = LM и JK = MN; углы HJK и LMN равны.
8. В ABC и DEF известны AB = DE и ∠A = ∠D. Других условий нет.

Уровень 2. Восстановите скрытое равенство

В части задач нужная информация следует из слова «середина», параллельности прямых, свойства биссектрисы или вертикальных углов. Не заменяйте вывод словами «видно на чертеже».

1. Середина M отрезка AC известна: AM = MC. Два треугольника ABM и CBM имеют BM общей стороной, ∠AMB = ∠BMC = 90°. Выберите признак.
2. Прямые AC и BD пересекаются в O; AO = OC, BO = OD. Докажите равенство AOB и COD.
3. В равнобедренном ABC (AB = AC) точка D лежит на BC, BD = DC, проведено AD. Сравните ABD и ACD.
4. В треугольнике ABC отрезок AD делит ∠BAC пополам; D лежит на BC. Дополнительно AB = AC. Сравните BAD и CAD.
5. Отрезки AB и CD параллельны, AD и BC параллельны; проведена диагональ AC четырёхугольника ABCD. Сравните ABC и CDA.
6. У ABC и DEF известно AB = DE, AC = DF и ∠ACB = ∠DFE. Ученик выбирает СУС. Верно ли?
7. В треугольниках KLM и PQR равны KL = PQ, KM = PR, LM = QR; дополнительно ∠K = ∠P. Какое достаточное основание не зависит от углов?
8. Точки C и D расположены вне прямых OA и OB. Известно OA = OB, OC = OD и ∠OAC = ∠OBD. Достаточно ли этих условий для сравнения OAC и OBD?

Уровень 3. Проверьте доказательство и найдите ловушку

1. Точки B, O, D лежат на одной прямой, а A, O, C — на другой; AO = OC и AB = CD. Достаточно ли этого, чтобы утверждать AOB ≅ COD?
2. В ABC отрезок AD является биссектрисой ∠A, а AD перпендикулярен BC. Треугольники ABD и ACD имеют равные углы при A и D. Назовите основание равенства.
3. Отрезки AC и BD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Учащийся сравнивает AOB и CDO по «УСУ». Где пропуск?
4. Даны ABC и DEF с AB = DE и AC = DF. Известно, что ∠A = 42°, ∠D = 42°, BC = 9 см. Как найти EF и почему?
5. В треугольниках ABC и DEF ∠A = ∠D = 51°, ∠B = ∠E = 63°, AC = DF = 8 см. Какой признак удобнее и почему?
6. Точка M лежит на AC, AB = BC, AM = MC, ∠ABM = ∠MBC. Какой признак работает для ABM и CBM без использования AM = MC?
7. Диагональ AC соединяет противоположные вершины параллелограмма ABCD. Ученик указал «ССС», сославшись лишь на параллельность сторон. Исправьте доказательство.
8. Два треугольника имеют по сторонам 5 см и 7 см, а также угол 30°. В первом угол расположен между названными сторонами, во втором — напротив стороны 5 см. Можно ли объявить их равными?

Ключ и комментарии для проверки

Номера внутри каждого уровня начинаются с единицы. При выставлении отметки за каждое задание можно дать 1 балл за верный признак и ещё 1 балл за объяснение; для недостаточных данных второй балл даётся за указание отсутствующего условия.

Ответы к уровню 1

1. СУС: угол при A лежит между AB и AC, а при D — между DE и DF.
2. УСУ: общая по соответствию сторона KL соединяет вершины двух указанных углов.
3. ССС: установлены все три соответствующие пары сторон.
4. Недостаточно: дан угол при B, не заключённый между AB и AC; это случай «две стороны и не включённый угол».
5. Недостаточно: равенство углов обеспечивает подобие; размеры могут различаться.
6. УСУ: BC и EF заключены между равными углами при B,C и E,F.
7. СУС: ∠HJK — угол между HJ и JK, ∠LMN — между LM и MN.
8. Недостаточно: одна сторона и один угол ещё не определяют треугольник.

Ответы к уровню 2

1. СУС: AM = MC, BM = BM, а прямые углы при M находятся между ними.
2. СУС: ∠AOB = ∠COD как вертикальные, причём это углы между парами равных сторон.
3. ССС: AB = AC, BD = DC, AD — общая сторона.
4. СУС: AB = AC, AD общая, ∠BAD = ∠DAC — угол между ними.
5. УСУ: углы BAC и DCA, BCA и DAC равны как накрест лежащие при параллельных прямых; AC общая между ними.
6. Неверно: ∠C не между AB и AC; возможны разные треугольники с теми же условиями.
7. ССС: все стороны заданы, дополнительное равенство углов не требуется.
8. Недостаточно: равны OA и OB, OC и OD, но углы при A и B не включены между двумя названными сторонами. Для СУС потребовалось бы равенство углов при O, а для ССС — AC = BD.

Подробные решения к уровню 3

1. Недостаточно: две стороны AO, AB и OC, CD плюс вертикальный угол при O не образуют СУС, поскольку AB и CD не прилежат к O; требуется, например, BO = OD.
2. УСУ: AD — общая сторона, углы BAD и DAC равны; ADB и ADC оба прямые и прилежат к AD.
3. Нужны две пары углов, а дана только пара вертикальных ∠AOB = ∠COD. Верный аргумент — СУС по AO = OC, BO = OD и вертикальным углам.
4. СУС: ∠A и ∠D заключены между заданными равными сторонами; треугольники равны, значит EF = BC = 9 см.
5. УСУ: из суммы углов ∠C = ∠F = 66°, поэтому сторона AC (DF) находится между равными углами при A,C и D,F.
6. СУС: AB = BC, BM общая, а биссектриса при B даёт равные включённые углы ABM и MBC.
7. Из параллельности следует равенство накрест лежащих углов BAC = DCA и BCA = DAC; AC общая, значит ABC ≅ CDA по УСУ. ССС можно использовать лишь после отдельного обоснования равенства противоположных сторон.
8. Нет: в первом случае известна пара сторон и включённый угол, во втором угол не включён. Данные двух треугольников не образуют требуемых соответствующих равенств для СУС; общий числовой набор не гарантирует равенства.

Самопроверка: перечитайте ответы, в которых выбран СУС: вершина указанного угла должна быть общей вершиной двух названных сторон. Если угол относится к другой вершине, аргумент не завершён.

Разбор сложного описания: что делать со скрытыми условиями

Сравним две ситуации, которые при беглом чтении кажутся одинаковыми. В первой точка M — середина AC, отрезок BM перпендикулярен AC, а сравниваемые треугольники — ABM и CBM. Здесь имеются AM = CM, BM = BM, ∠AMB = ∠CMB = 90°. Угол расположен между указанными сторонами, значит действует СУС. Во второй ситуации сохранено только «M — середина AC», но перпендикулярность не указана. Равенства AM = CM и BM = BM остаются, однако о включённых углах ничего не известно. Поэтому СУС выбирать нельзя. Такое различие и составляет смысл текстовой проверки: одно пропущенное слово изменяет логический статус вывода.

Если в условии названы параллельные стороны, сформулируйте, какие именно углы равны при секущей, а затем проверьте, прилежат ли они к выбранной стороне. Например, в параллелограмме ABCD с диагональю AC треугольники ABC и CDA сравнивают по стороне AC и двум прилежащим углам. Нельзя вместо этого написать «ССС только потому, что ABCD — параллелограмм»: равенство противоположных сторон уже требует доказательства или ссылки на известную теорему. В правильном решении каждый шаг следует из предыдущего, а не из зрительного впечатления.

Наконец, когда ответом является «недостаточно данных», предложите конкретное дополнение. Для двух сторон и невключённого угла это может быть равенство угла между данными сторонами. Для двух углов без стороны добавьте равенство соответствующей стороны. Такое уточнение демонстрирует, что ученик не просто отказался отвечать, а определил недостающее математическое основание.