Поиск пропущенного шага доказательства при внешнем угле и биссектрисе — самостоятельная работа, 7 класс

Класс: 7. Цель: восстанавливать отсутствующие основания и вычисления в доказательстве о внешнем угле треугольника и его биссектрисе. Формат: задания для работы на уроке, самостоятельной проверки и печати.

Учебная ситуация: проверка углов на чертежах макетов

Семиклассники готовят бумажные модели треугольных опор. У каждого шаблона есть треугольник ABC. Сторону BC продлевают за C до точки D: точки B, C, D лежат на одной прямой именно в таком порядке. Луч CE расположен внутри внешнего угла ACD и является его биссектрисой. Задача проверяющего — восстановить пропущенный логический шаг в расчёте углов.

Важно не путать два угла с вершиной C. ∠ACB — внутренний угол треугольника; ∠ACD — внешний, смежный с внутренним. Равенство ∠ACD = ∠A + ∠B следует из суммы углов треугольника и смежности. Затем, и только затем, биссектриса позволяет разделить внешний угол на две равные части.

Исходные данные для двенадцати схем

Восстановите недостающую строку

Для каждой схемы впишите формулу, числовой ответ и название свойства, которое позволяет сделать переход. Одна только числовая подстановка не считается полным доказательством.

1. В учебном макете каркаса A = 42°, B = 68°. Ученик получил внешний угол 70°. Найдите пропущенную строку доказательства и значение угла между CE и CD.
2. На схеме навеса A = 53°, B = 61°. В записи есть «∠ACE = ∠ECD», но не пояснено почему. Какое условие его оправдывает и сколько градусов в каждом угле?
3. В таблице проекта A = 37°, B = 76°. Ученик записал ∠ACD = 180° − (A + B). Определите ошибку и рассчитайте внешний угол и его половину.
4. Для макета задано A = 58°, B = 47°. В доказательстве пропущено равенство, переводящее сумму удалённых внутренних углов во внешний. Восстановите его и найдите ∠ACE.
5. В схеме A = 49°, B = 82°. Найдите внутренний угол C, затем объясните, почему угол при C с продолжением BC дополняет его до 180°. Сколько составляет половина внешнего?
6. Для шаблона A = 65°, B = 44°. Проверяющий заявил, будто биссектриса внешнего угла даёт 45° всегда. Исправьте вывод, рассчитайте ∠ECD.
7. У треугольника A = 34°, B = 57°. Выполните вычисление двумя путями: через сумму удалённых углов и через смежность с внутренним C. Совпадают ли результаты?
8. На чертеже A = 71°, B = 42°. Ученик нашёл ∠ACD = 113°, но ∠ACE = 113°. Какую строку он пропустил?
9. В макете A = 45°, B = 69°. Известно, что CE биссектриса именно внешнего угла ACD. Найдите внутренний угол C и оба угла, на которые CE делит внешний.
10. Измерение дало A = 39°, B = 54°. В решении написано ∠ACE = (180° − A − B)/2. Проверьте формулу, вычислите корректное значение.
11. В модели A = 62°, B = 63°. Проверьте утверждение «внешний угол может быть больше 120°, но его половина меньше 60°». Верно ли для этих данных?
12. В заключительной строке A = 28°, B = 81°. Найдите три угла при вершине C: внутренний ACB и два угла, образованные биссектрисой CE во внешнем ACD; проверьте их сумму вокруг прямой BC.

Как устроена математическая модель

Если a и b обозначают внутренние углы при A и B, то ∠ACB = 180° − a − b, ∠ACD = a + b, ∠ACE = ∠ECD = (a + b)/2. Эти выражения применимы для треугольника, когда a > 0, b > 0 и a + b < 180°. Для биссектрисы нужны ещё данные о том, что CE действительно делит внешний угол ACD, а не произвольный угол при C.

Полные ответы и восстановленные доказательства

1. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 42° + 68° = 110°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 110° : 2 = 55°. Внутренний ∠ACB = 180° − 110° = 70°; проверка смежности: 70° + 110° = 180°. Ошибка состояла в смешении внешнего угла с внутренним: 70° — угол ACB, не ACD.
2. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 53° + 61° = 114°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 114° : 2 = 57°. Внутренний ∠ACB = 180° − 114° = 66°; проверка смежности: 66° + 114° = 180°.
3. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 37° + 76° = 113°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 113° : 2 = 56.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 113° = 67°; проверка смежности: 67° + 113° = 180°. Формула ученика даёт внутренний, а не внешний угол.
4. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 58° + 47° = 105°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 105° : 2 = 52.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 105° = 75°; проверка смежности: 75° + 105° = 180°.
5. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 49° + 82° = 131°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 131° : 2 = 65.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 131° = 49°; проверка смежности: 49° + 131° = 180°.
6. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 65° + 44° = 109°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 109° : 2 = 54.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 109° = 71°; проверка смежности: 71° + 109° = 180°. Биссектриса делит внешний угол пополам, а не обязательно на прямые углы.
7. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 34° + 57° = 91°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 91° : 2 = 45.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 91° = 89°; проверка смежности: 89° + 91° = 180°.
8. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 71° + 42° = 113°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 113° : 2 = 56.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 113° = 67°; проверка смежности: 67° + 113° = 180°.
9. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 45° + 69° = 114°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 114° : 2 = 57°. Внутренний ∠ACB = 180° − 114° = 66°; проверка смежности: 66° + 114° = 180°.
10. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 39° + 54° = 93°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 93° : 2 = 46.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 93° = 87°; проверка смежности: 87° + 93° = 180°. Правильная формула для половины внешнего угла: (A+B)/2.
11. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 62° + 63° = 125°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 125° : 2 = 62.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 125° = 55°; проверка смежности: 55° + 125° = 180°. Утверждение неверно: половина 125° равна 62,5°, что больше 60°.
12. По теореме о внешнем угле ∠ACD = ∠A + ∠B = 28° + 81° = 109°. CE — биссектриса ∠ACD, поэтому ∠ACE = ∠ECD = 109° : 2 = 54.5°. Внутренний ∠ACB = 180° − 109° = 71°; проверка смежности: 71° + 109° = 180°.

Проверка разумности и контроль геометрии

В каждом случае внешний угол больше нуля и меньше 180°, а половина внешнего угла меньше 90°. Внутренний и внешний углы в сумме всегда равны 180°. Если написана сумма 360°, значит вместо смежной пары ошибочно выбрали полный оборот. Ученик, который правильно вычислил число, но не пояснил, почему CE делит именно внешний угол, ещё не закончил доказательство.

Подсказка для исправления ошибок: сначала подчеркните в условии «продолжили BC за C», затем «CE — биссектриса внешнего угла», после чего подпишите формулы по отдельности. Этот порядок помогает не подставить внутренний угол туда, где нужен внешний.