Восстановление подкоренного выражения для разности двух корней — тренажёр для 8 класса

Прикладной тренажёр · 8 класс · Квадратные корни

В школьном проекте «Квадратные площадки» сравнивают стороны квадратных площадок до и после перепланировки. Известны исходная площадь B в м² и разность сторон d = √A − √B в метрах. Нужно восстановить новую площадь A, потому что она находится под первым корнем. Таблица позволяет не смешивать площади с линейными размерами.

Исходные данные: шесть площадок

Обратите внимание: отрицательное d означает, что новая сторона короче старой. Это не то же самое, что отрицательная площадь. Значение A всегда должно удовлетворять A ≥ 0, а для настоящей площадки — A > 0.

Математическая модель

Имеется равенство √A − √B = d. Следовательно, √A = √B + d и A = (√B + d)². Но ещё до возведения в квадрат необходимо проверить √B + d ≥ 0: арифметический квадратный корень отрицательным не бывает. При вычислении d указана единица «метр»; в итоговом A единица — «м²».

Контрольный образец: для Северной площадки √B = √25 = 5 м. Новая сторона 5 + 2 = 7 м, значит A = 49 м². Проверка исходного условия: √49 − √25 = 7 − 5 = 2 м.

Паспорт проекта — 13 последовательных заданий

1. Для Северной площадки составьте равенство √A − √25 = 2 и найдите A. Назовите новую сторону.
2. Для Школьной площадки получите A без подбора квадратов. На сколько квадратных метров уменьшилась её площадь?
3. Для Спортивной площадки заполните модель √A − √81 = 4. Чему равна разность площадей A − B?
4. Для Тихой площадки сначала найдите новую сторону, потом площадь A. Объясните, почему d отрицательно.
5. Проверяйте Мастерскую: можно ли восстановить реальную площадь A при d = −8? Укажите конкретное противоречие.
6. Для Садовой площадки рассчитайте A без округления. Проверите равенство корней до десятых.
7. Из допустимых площадок таблицы определите две, у которых новая площадь одинакова, хотя исходные площади различались.
8. Сравните абсолютные изменения площади |A − B| у Северной и Школьной площадок. Где изменение больше?
9. Найдите суммарную новую площадь трёх площадок: Северной, Школьной и Спортивной.
10. Если стоимость ограждения 1 м составляет 800 тенге, сколько стоит новый забор по периметру Тихой площадки? Принимаем, что входов без забора нет.
11. Садовая площадка делится на девять равных квадратных участков. Найдите сторону маленького квадрата.
12. Для дополнительной площадки известны B = 100 м² и d = −10 м. Возможна ли такая площадь в математической модели? А как реальный действующий участок?
13. Ученик написал: «Для Школьной площадки A = B + d² = 64 + 9 = 73». Выявите ошибку и приведите верное вычисление.

Рабочая таблица результатов

При поиске пары площадок с одинаковой площадью удобнее сначала сравнить третью колонку, а не исходные площади: у Школьной новой стороной будет 5 м, у Тихой — 7 м. Совпадающая новая площадь получилась у Северной и Тихой площадок.

Ответы с вычислениями и пояснениями

1. 49 м²; сторона 7 м. √49 − √25 = 2.
2. 25 м²; площадь уменьшилась на 64 − 25 = 39 м². Сторона стала 8 − 3 = 5 м.
3. A = 169 м²; прибавка 169 − 81 = 88 м². Проверка: 13 − 9 = 4.
4. A = 49 м²; новая сторона 12 − 5 = 7 м. Знак «минус» показывает уменьшение длины.
5. Нет решения: √A = 6 − 8 = −2, что противоречит √A ≥ 0. Подстановка A = 4 была бы посторонним результатом после возведения в квадрат.
6. 182,25 м². √A = 13,5 м, так как 13 + 0,5 = 13,5. Проверка: 13,5 − 13 = 0,5 м.
7. Северная и Тихая: обе получили 49 м² (сторона 7 м).
8. Северная: |49 − 25| = 24 м². Школьная: |25 − 64| = 39 м². Больше у Школьной на 15 м².
9. 243 м²: 49 + 25 + 169 = 243.
10. Периметр 4 · 7 = 28 м; стоимость 22 400 тенге: 28 · 800 = 22 400.
11. Сторона всего квадрата 13,5 м; три малых квадрата укладываются вдоль каждой стороны. Сторона малого квадрата 4,5 м. Его площадь 20,25 м².
12. Математически A = 0, поскольку √A = 10 − 10 = 0. Но реальной площадки с положительной площадью нет.
13. Ошибка: квадрат разности сторон нельзя получить прибавлением d² к старой площади. Правильно A = (8 − 3)² = 25 м², а не 73 м².

Проверка разумности проекта

Когда d > 0, новая сторона больше, поэтому и новая площадь больше (при B ≥ 0); когда −√B < d < 0, площадь уменьшается, но остаётся положительной. При d = −√B модель даёт нулевую площадь; при d < −√B модель противоречива. Эти три случая удобно оценить до любых вычислений.

Значения в строке с d = 0,5 м не следует преждевременно округлять: 13,5² = 182,25, а не 182. Единицы в ответах существенны: √A — длина, A — площадь, A − B — изменение площади, периметр измеряется метрами. Все восстановленные числа проверяются подстановкой в исходную разность двух корней, а не только в возведённое в квадрат равенство.