Сравнение выражений с корнями при вынесении множителя из корня — проверочная работа по математике, 8 класс

Проверочная с доказательством · 8 класс · Квадратные корни

На этой работе важно не угадать знак сравнения, а обосновать его. Все пары сравниваются путём вынесения множителя из-под квадратного корня. После упрощения сравните коэффициенты при одном и том же положительном корне; десятичные калькуляторные значения не требуются.

Подозрительное утверждение: «√(t²m) = t√m при любом t»

Утверждение верно только при t ≥ 0 (и m ≥ 0). В общем случае действует правило √(t²m) = |t|√m. Почему? По определению арифметический квадратный корень неотрицателен. Число |t|√m неотрицательно и его квадрат равен t²m, значит именно оно и есть квадратный корень.

Для сравнения выражений с общим множителем √m (m > 0) достаточно сравнить стоящие перед ним действительные коэффициенты. Например, √98 = √(49·2) = 7√2, поэтому √98 < 8√2. Но если перед обоими выражениями знак «минус», то при умножении сравниваемых положительных величин на −1 порядок меняется: −7√2 > −8√2.

Часть I — доказательство правила и ловушки со знаками

1. Докажите для любого m ≥ 0, что √(25m) = 5√m. Укажите, где вы использовали неотрицательность.
2. Выясните, равны ли √(u²·3) и u√3 при u = −4; запишите верную формулу без предположения u ≥ 0.
3. Проверьте, верно ли для каждого m ≥ 0 неравенство √(16m) ≥ 3√m. В каком случае получается равенство?
4. Сравните −√(49·5) и −6√5; не вычисляйте √5 приближённо.

Часть II — сравните и объясните преобразование

Разбор особых случаев, от которых зависит знак

Нулевой подкоренной множитель

При m = 0 в упражнении 3 обе части равны нулю: √(16·0) = 3√0 = 0. При m > 0 отношение 4√m и 3√m строгое. Поэтому знак «≥» верен при всех m ≥ 0, но «>» верен не всегда. Это важная разница между доказательством для всех допустимых значений и проверкой на нескольких числах.

Отрицательный коэффициент

В упражнении 4 вынесение множителя даёт −√245 = −7√5. Сравниваются −7√5 и −6√5. Поскольку √5 > 0 и −7 < −6, первая величина меньше второй. Нельзя применять правило «чем больше коэффициент по модулю, тем больше выражение», не учитывая знак.

Отрицательное значение переменной

В упражнении 2 при u = −4 выражение √(u²·3) = √48 = 4√3, а u√3 = −4√3. Они не равны. Формула √(u²·3) = |u|√3 одновременно покрывает u отрицательные, равные нулю и положительные. При возведении в квадрат равенство одних квадратов не гарантирует равенства самих чисел.

Почему метод действительно доказывает знак, а не только подсказывает его

У равенства √(c²d) = |c|√d есть два обязательных условия: выражение под корнем неотрицательно и мы выбираем неотрицательное значение результата. Если d ≥ 0, число |c|√d неотрицательно. Его квадрат — c²d. По определению арифметического корня другой ответ не нужен. Поэтому в задачах с положительными целыми коэффициентами можно уверенно выносить 7 из √(49·3), 8 из √(64·3) и так далее. Однако для c = −7 правильным коэффициентом станет 7, а не −7.

Теперь докажем переход к сравнению. Пусть m > 0. Тогда √m > 0, и если a < b, то умножение неравенства на √m даёт a√m < b√m. Аналогично сохраняются «=» и «>». Если m = 0, оба произведения становятся нулём независимо от a и b — строгий знак исчезает. Если перед выражением стоит минус, сначала вынесите множитель из корня, затем сравните уже отрицательные коэффициенты. Это разделяет две операции и уменьшает число ошибок.

Два полных решения из второй части

Задание 9: √320 и 7√5. Замечаем, что 320 = 64·5. Значит, √320 = √64·√5 = 8√5. Поскольку 5 > 0, √5 > 0; тогда 8√5 > 7√5. Проверка не требует приблизительного значения √320 и остаётся точной. Сравнение по одним подкоренным числам 320 и 5 здесь не даёт правильного обоснования, потому что у второго выражения есть внешний множитель 7.

Задание 12: −√363 и −12√3. Раскладываем 363 = 121·3 и получаем −√363 = −11√3. При положительном √3 число −11√3 больше, чем −12√3, потому что −11 > −12. Самая распространённая ошибка — сказать, что первое меньше, только потому, что 363 > 3. Сравниваются целые выражения со знаками и коэффициентами, а не отдельно взятые подкоренные числа.

При оформлении решения полезно писать одну цепочку, например √192 = √(64·3) = 8√3 < 9√3. В ней видны полный квадрат 64, вынесенный коэффициент 8 и итоговый знак. Если цепочка начинается со сравнения приблизительных десятичных значений, она не объясняет, почему равенство или неравенство доказано для точных корней.

Частая ошибочная запись выглядит так: «√(c²m) = c√m, потому что квадратный корень сокращается с квадратом». Она годится для неотрицательного c, но при отрицательном c даёт число неверного знака. Безопаснее сразу записывать модуль и лишь после этого учитывать заданные ограничения переменной.

Ключ и аргументация для проверяющего

Как ставить баллы

За задания 1–4 начислите по 2 балла: 1 за верный вывод и 1 за необходимое объяснение или контрпример. За задания 5–12 — по 1 баллу за верный знак и показанное вынесение множителя. Всего 16 баллов. Указание только одного знака без преобразования можно зачесть как половину балла по решению учителя.

Контрольный вопрос после работы: почему всегда можно сравнивать a√m и b√m по коэффициентам при m > 0, но нужно отдельно разбирать случай m = 0? Ответ: положительный множитель сохраняет строгий порядок, а умножение на ноль превращает любые коэффициенты в одинаковый ноль.