Восстановление границы интервала при делении на отрицательное число: задачи с решениями для 8 класса

Таблица для чтения и проверки

В каждом из шести столбцов-строк сначала мысленно разделите обе части неравенства на коэффициент при x. Сравните вычисленную границу с таблицей и объясните, почему стрелка неравенства направлена в другую сторону. При печати можно закрыть два последних столбца листом.

В первом примере −2x < 8 означает x > −4: знак сменился именно потому, что делили на −2. В пятом примере граница дробная: −9 : (−6) = 3/2. Для строгого знака граница не входит в ответ; при ≤ или ≥ она входит.

Проверьте себя: почему при x > −4 число −4 не входит в ответ, а при x ≤ −3 число −3 входит? Подставьте соответствующее граничное число в исходное выражение и установите, верно ли строгое равенство на границе.

Как проверять восстановленную границу

Граница — значение x, при котором левая и правая части исходного неравенства становятся равными. Например, у −6x < −9 это x = 3/2: обе стороны равны −9. Такая подстановка не означает, что граничное значение удовлетворяет строгому неравенству. Она показывает, где проходит точка раздела между решениями и числами, которые решением не являются.

Удобно проверять три положения: саму границу, точку чуть левее и точку чуть правее. Для −6x < −9 возьмём 1, 3/2 и 2. При x = 1 левая часть равна −6, поэтому −6 < −9 ложно. При x = 3/2 получаем ложное −9 < −9. При x = 2 имеем −12 < −9 — истина. Следовательно, правый луч начинается после 3/2, что согласуется с таблицей.

Если коэффициент −8, а правая часть −6, деление на −8 даёт 3/4. Не округляйте границу до 1: целое приближение изменило бы множество решений. Иногда десятичная дробь конечная, как 0,75; иногда точная обыкновенная дробь удобнее. Сохраняйте точное значение, а не число, подобранное по рисунку.

Найдите четыре противоречия

В заданиях 7–10 приведено ученическое решение. Каждое содержит одну конкретную ошибку. Не ограничивайтесь исправленным знаком: укажите полученную границу и конечный интервал.

7. № 7. Для −7x < 14 написали x < −2 и (−∞; −2). Найдите ошибку в направлении знака.
8. № 8. Для −3x ≥ −12 написали x < 4 и (−∞; 4). Сопоставьте строгость знака с исходным условием.
9. № 9. Для −4x > 8 записали x > −2. Проверьте значение x = 0.
10. № 10. Для −10x ≤ 5 верно получили x ≥ −1/2, но записали (−1/2; +∞). Найдите ошибку в скобке.

Пояснение к самопроверке: один удачно выбранный пример может обнаружить неверный ответ, но не доказывает его для всех x. Полное доказательство — эквивалентное преобразование исходного неравенства.

Вычислите или восстановите неизвестную правую часть

Задания 11–15 специально меняют направление рассуждения. Иногда известна запись неравенства, иногда — итоговая граница. В обратных заданиях сначала умножьте нужную границу на отрицательный коэффициент.

11. № 11. Решите −3x ≤ 12. Запишите правую границу, скобку и весь луч.
12. № 12. Решите −4x > −28. Проверьте, принадлежит ли ответу число 7.
13. № 13. Известно, что решение −5x ≥ B записано как (−∞; −3]. Восстановите B.
14. № 14. Неравенство −2x < B имеет решение (6; +∞). Найдите B и проверьте знак.
15. № 15. Решите −3(x − 2) ≥ 9, сначала получив границу для выражения x − 2.

Проверочный маршрут

До перехода к ответам отметьте на полях, в каких заданиях дано только направление луча, а в каких требуется найти отсутствующую правую часть. В № 13 и № 14 результат нельзя получить подбором «удобного» значения x: нужная правая часть единственна и вычисляется умножением самой границы на отрицательный коэффициент.

Задайте себе вопрос о строгом и нестрогом знаке отдельно от вычисления. Одна и та же граница −2 может стоять в ответах (−2; +∞) и [−2; +∞), но это разные множества. В первом случае x = −2 не разрешён, во втором разрешён. Если перепутать скобку, даже правильно найденная граница не спасёт ответ.

Ответы и разборы

К таблице, № 1–6. Проверенные границы по порядку: −4; −3; 4; 5; 3/2; 3/4. Соответствующие интервалы напечатаны в последних двух столбцах; все делители отрицательные, поэтому во всех шести случаях направление знака перевёрнуто.

7. № 7: x > −2, интервал (−2; +∞); деление на −7 меняет < на >.
8. № 8: x ≤ 4, интервал (−∞; 4]; знак должен быть нестрогим: −3x ≥ −12 означает x ≤ 4, поэтому правильный интервал (−∞; 4]. Подстановка x = 4 даёт −12 ≥ −12 — верно.
9. № 9: x < −2, интервал (−∞; −2). При x = 0 исходное 0 > 8 ложно, значит 0 не должен попасть в ответ.
10. № 10: x ≥ −1/2, интервал [−1/2; +∞). Квадратная скобка обязательна, так как равенство разрешено.

11. № 11: x ≥ −4, [−4; +∞). Деление 12 : (−3) даёт −4.
12. № 12: x < 7, (−∞; 7). Значение 7 исключено: −28 > −28 неверно.
13. № 13: B = 15. Обратный ход: (−3)·(−5) = 15, тогда −5x ≥ 15 эквивалентно x ≤ −3.
14. № 14: B = −12. Получаем −2x < −12, после деления x > 6.
15. № 15: x − 2 ≤ −3, значит x ≤ −1 и интервал (−∞; −1].

Различайте число-границу и множество решений: одно число не описывает, в какую сторону продолжается луч. Не забывайте, что знак ∞ никогда не сопровождается квадратной скобкой.