Восстановление границы интервала при системе с противоположными ограничениями — тематические карточки для 8 класса

Базовый пример: от системы к двум границам

Рассмотрим систему 2x + 3 > −1 и −3x + 6 ≥ −9. Первая строка даёт 2x > −4, то есть x > −2. Во второй получаем −3x ≥ −15; делим на −3 и меняем направление: x ≤ 5. Пересечение — (−2; 5].

Почему −2 исключено? При x = −2 первое неравенство превращается в −1 > −1, что неверно. Почему 5 включено? Во второй строке −9 ≥ −9 верно; в первой 13 > −1 тоже верно. Поэтому правая скобка квадратная.

Проверка внутренней точки: x = 0 удовлетворяет обеим строкам, поскольку 3 > −1 и 6 ≥ −9. Проверка внешней точки x = 6: −12 ≥ −9 неверно. Эти подстановки помогают найти ошибку, но полное решение опирается на преобразования неравенств.

Измените условие и восстановите новый конец

Задание 1. Во второй строке базовой системы замените −9 на −3. Левая граница останется прежней. Найдите новую правую границу, запишите интервал и проверьте её прямой подстановкой в изменённое условие.

Задание 2. Во второй строке оставьте −9, а первую замените на 2x + 3 ≥ −1. Как изменится тип левой скобки? Объясните, почему числовые границы остаются −2 и 5.

Задание 3. Оставьте первую строку базового примера, а вторую замените на −3x + 6 ≥ 15. Какое множество получится? Важно не записывать «интервал наоборот»: если нижняя граница выше верхней, решений нет.

Задание 4. Зная, что первая строка 2x + 3 > −1 даёт x > −2, восстановите число C в −3x + 6 ≥ C так, чтобы итоговая правая граница была 4 включительно.

Вопрос для обсуждения: условие «правая граница 4 включительно» не означает, что все x до 4 допустимы. Нужно ещё наложить ограничение x > −2. Именно поэтому объединение двух лучей здесь неверно.

Проверка границы в обе стороны

Для любой системы, содержащей нижнюю и верхнюю границу, полезно рассматривать четыре типа точек: число внутри промежутка; число на левом конце; число на правом конце; число за пределами интервала. Их роль неодинакова. Внутренняя точка показывает, что ответ не пустой. Концы определяют тип скобок. Внешняя точка обнаруживает, не слишком ли широкий луч получился.

Возьмём изменённую систему из задания 1. Её преобразования x > −2 и x ≤ 3 говорят, что x = 0 допускается, x = −2 исключено, x = 3 входит, а x = 4 не подходит. При этом нельзя объяснять правую скобку только тем, что условие x ≤ 3 нестрогое: надо убедиться, что x = 3 одновременно удовлетворяет и первой строке.

Если нижняя граница равна верхней, всё зависит от строгости. Система x ≥ 2 и x ≤ 2 оставляет {2}. Система x > 2 и x ≤ 2 несовместима: для первого условия нужно уйти вправо от 2, а для второго — остаться не правее 2. Если нижняя граница больше верхней, даже две квадратные скобки не дают решения.

Способ восстановления по готовому интервалу: для (a; b] сначала запишите два простых ограничения x > a и x ≤ b, а затем восстановите соответствующие исходные линейные строки обратными преобразованиями. Умножение на отрицательное число снова перевернёт знак. Такой обратный путь нужен в заданиях № 4, 13 и 14 и является независимой проверкой найденной границы.

Самостоятельная серия: восемь новых систем

В № 5–12 восстановите обе границы, обозначьте их на числовой прямой, затем найдите пересечение. В таблице ответы закрыты: используйте только столбец «Система» до проверки.

После решения отдельно отметьте номера, где ответ пустой, и номер, где ответ состоит ровно из одного числа. Обоснуйте эти два случая не рисунком, а сравнением нижней и верхней границ.

Обратный ход: восстановите неизвестный коэффициент или число

13. № 13. Система x > B и x < 7 имеет множество решений (1; 7). Чему равно B? Укажите, на какой границе он стоит.
14. № 14. Система x ≥ −1 и −2x ≥ D даёт [−1; 3]. Найдите D и объясните, почему 3 включено.

В обоих заданиях проверка результата — не просто сравнение интервалов: вставьте вычисленное число в первоначальное неравенство и решите систему ещё раз.

Проверка предельных случаев

Не начинайте с механического выбора круглых скобок. Наиболее опасны три случая. Во-первых, левая граница больше правой: это не интервал с отрицательной длиной, а ∅. Во-вторых, две границы одинаковы: иногда остаётся одна точка, иногда решений нет. В-третьих, обе строки дают ограничения в одном направлении: тогда результатом может быть луч, а не ограниченный промежуток. В нашей самостоятельной серии встречаются первые два случая.

В № 9 преобразования ведут к x ≥ 5 и x ≤ 4. Предположим, что решение существует. Из x ≥ 5 следует x > 4, что противоречит x ≤ 4. Таким образом, отсутствие решений доказывается без перебора чисел. В № 12 ограничения x ≤ 2 и x ≥ 2, наоборот, совместимы ровно при x = 2. Обратная подстановка в 5x − 10 ≤ 0 даёт 0 ≤ 0, а в −x ≤ −2 — −2 ≤ −2.

Рекомендуемое оформление тетради: под каждой исходной строкой напишите её преобразованное ограничение, затем через знак пересечения укажите общую часть. Не смешивайте промежуточные вычисления со списком «всех подходящих чисел»: речь идёт о вещественном промежутке, содержащем бесконечно много точек, если он непустой и не одноточечный.

Ключ с обратной проверкой

1. № 1: −3x + 6 ≥ −3 ⇒ −3x ≥ −9 ⇒ x ≤ 3; совместно с x > −2 получаем (−2; 3]. При x = 3 левая часть второй строки −3 равна правой.
2. № 2: x ≥ −2, x ≤ 5, ответ [−2; 5]. При x = −2 первое условие становится −1 ≥ −1 — истинно.
3. № 3: x > −2, а −3x ≥ 9 ⇒ x ≤ −3; совместных решений нет: ∅.
4. № 4: для x ≤ 4 нужно −3x ≥ −12; поэтому C = −6, ведь −3x + 6 ≥ −6 равносильно −3x ≥ −12.

Ответы № 5–12: (−3; 6); [2; 9]; [1; 2); (−2; 4]; ∅; [3; 7); (−2; 0]; {2}. В № 9 правая граница 4 меньше левой 5. В № 12 оба нестрогих ограничения приводят ровно к x = 2.

13. № 13: B = 1; левый конец исключён, поскольку x > 1.
14. № 14: D = −6, так как −2x ≥ −6 превращается в x ≤ 3. Совместно x ≥ −1 получаем [−1; 3]. При x = 3 выполняется −6 ≥ −6.

Алгоритм самоконтроля: (1) выписать по отдельности x >, x ≥, x < или x ≤; (2) сравнить границы; (3) решить вопрос о включении концов; (4) подставить каждую разрешённую границу и одну заведомо внешнюю точку в обе исходные строки. Если обратная проверка не проходит, сначала проверьте знак при делении на отрицательное число.