Восстановление границы интервала с условием целочисленности ответа — карточки с ответами, 8 класс

Рабочий лист для 8 класса: требуется восстановить границы промежутка, а затем найти только целочисленные решения. Можно распечатать оба варианта отдельно: задания и учительский ключ находятся в разных разделах.

Содержание статьи5 разделов

Памятка перед работой

В обычном неравенстве переменная может принимать любые вещественные значения. Условие x ∈ Z меняет конечный ответ: мы оставляем только целые точки внутри промежутка. Например, −2 < x ≤ 2 для целого x даёт {−1, 0, 1, 2}, хотя для вещественного x промежуток бесконечен по числу точек.

При строгой границе число на ней исключают; при нестрогой включают. Если после пересечения двух ограничений допустимых целых точек нет, ответ ∅. Если границы совпали и обе нестрогие, допустимо одно число. На числовой прямой можно помечать целые точки маленькими кружками, но ответы в ключе записаны множеством.

Важно при восстановлении неизвестной: по одному набору целых точек нельзя в общем случае единственным образом восстановить произвольную вещественную границу. Именно поэтому в заданиях № 9, 16, 17 явно сказано, что неизвестный порог — целое число. Без этого условия возможны разные действительные значения порога.

Для двух вариантов полезно выделить по 15–20 минут. Ученик подписывает, как перешёл от системы к промежутку; учитель проверяет отдельно преобразование знака и выбор целых точек.

Вариант А — границы заданы явно

Для № 1–8 выпишите все целые решения по возрастанию. В № 9 восстановите неизвестную целую границу. Не подменяйте запись множества целых чисел интервалом на вещественной прямой.

  1. № 1. x ∈ Z, −3 < x ≤ 2.
  2. № 2. x ∈ Z, 1 ≤ x < 5.
  3. № 3. x ∈ Z, −4 < x < −1.
  4. № 4. x ∈ Z, 0 ≤ x ≤ 3.
  5. № 5. x ∈ Z, 2 < x < 3.
  6. № 6. x ∈ Z, −1 < x < 1.
  7. № 7. x ∈ Z, x ≥ 5 и x ≤ 5.
  8. № 8. x ∈ Z, x ≥ 3 и x ≤ 2.
  9. № 9. x ∈ Z, x > a, a — целое; наименьшее решение −1.

Самопроверка без ключа: в № 5 сравните два соседних целых числа; в № 7 проверьте, может ли одна точка удовлетворять одновременно x ≥ 5 и x ≤ 5. Для № 9 нарисуйте два последовательных целых числа, чтобы восстановить строгую левую границу.

Вариант Б — сначала решите неравенства

Здесь проверяется не только понимание скобок. В № 10, 12, 14 и 15 отрицательный коэффициент меняет знак; если пропустить этот шаг, получится другой список целых чисел.

  1. № 10. x ∈ Z, −2x < 8 и x ≤ 1.
  2. № 11. x ∈ Z, 3x ≥ 0 и x < 4.
  3. № 12. x ∈ Z, −4x ≥ −8 и x ≥ −1.
  4. № 13. x ∈ Z, 1/2 < x < 9/2.
  5. № 14. x ∈ Z, −3x > −6 и x ≥ 3.
  6. № 15. x ∈ Z, −2x ≤ −8 и x < 6.
  7. № 16. x ∈ Z, x ≤ b, b — целое; наибольшее решение 7.
  8. № 17. x ∈ Z, x > c, c — целое; наименьшее решение 5.
  9. № 18. x ∈ Z, −3 ≤ x ≤ 3. Сколько решений? А при −3 < x < 3?.

Для № 18 достаточно подсчёта точек, но объясните, какие две точки исчезли при переходе от нестрогих ограничений к строгим.

Ключ для учителя: вариант А

№ Верный ответ Обоснование
1 {−2, −1, 0, 1, 2} После −3 первое целое −2; 2 входит, потому что ≤.
2 {1, 2, 3, 4} Левая граница входит, правая 5 — нет.
3 {−3, −2} Оба конца открытые; −1 исключено.
4 {0, 1, 2, 3} Четыре целых числа включая концы.
5 ∅ Между последовательными целыми нет целого.
6 {0} Только 0 лежит строго между −1 и 1.
7 {5} Две нестрогие границы совпали.
8 ∅ Левая граница больше правой.
9 a = −2 Для целого порога минимальное решение a + 1.

К № 1: полезно проверить крайнее допустимое число −2, поскольку −3 < −2. Но значение −3 не подходит. К № 3: при отрицательных числах порядок на прямой не меняется: −3 находится правее −4. В № 8 интервал вещественных решений уже пуст, поэтому целых решений тоже нет.

В № 9 требование a ∈ Z принципиально: если допустить действительное a, то тому же минимальному целому −1 удовлетворят все a в промежутке [−2; −1). Следовательно, восстановление целого порога отличается от восстановления произвольной вещественной границы.

Ключ для учителя: вариант Б

№ Верный ответ Путь к ответу
10 {−3, −2, −1, 0, 1} −2x < 8 ⇒ x > −4; пересекаем с x ≤ 1.
11 {0, 1, 2, 3} x ≥ 0 и x < 4.
12 {−1, 0, 1, 2} Деление даёт x ≤ 2, другая граница −1.
13 {1, 2, 3, 4} Дробные границы не входят, целые внутри — 1–4.
14 ∅ Из −3x > −6 следует x < 2, что несовместимо с x ≥ 3.
15 {4, 5} x ≥ 4 и x < 6.
16 b = 7 Максимум целого луча равен включённой границе.
17 c = 4 Начало допустимых целых — c + 1.
18 7 и 5 От −3 до 3 включительно семь; от −2 до 2 пять.

В № 10 для x = −4 имеем 8 < 8, что неверно, поэтому −4 не включается. В № 12 x = 2 даёт −8 ≥ −8, так что верхняя граница разрешена. В № 15 x = 6 исключено строгим ограничением. В № 18 при замене квадратных скобок на круглые удаляются ровно −3 и 3.

Оценивание: если ученик верно получил вещественный промежуток, но ошибся с целыми точками, нужно разбирать именно дополнительное условие x ∈ Z. Если неверен сам промежуток, начните с проверки смены направления при делении на отрицательное число.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым