Определение общего множества решений при делении на отрицательное число — самостоятельная работа, 8 класс

Наблюдение: одна точка — две проверки

Рассмотрим систему −2x < 6 и −3x ≥ −6. Сначала составим маленькую таблицу истинности для трёх пробных чисел. Это предварительный эксперимент; после него предстоит получить решение алгебраически.

Теперь решим каждую строку. Из −2x < 6 следует x > −3, а из −3x ≥ −6 — x ≤ 2. Общая часть двух лучей — (−3; 2]. Крайняя точка −3 не входит: 6 < 6 неверно. Число 2 входит, потому что во второй строке −6 ≥ −6 верно и первое условие тоже выполнено.

Заметим два разных вида проверки. Подстановка x = 0 подтверждает, что 0 действительно входит; подстановка x = −4 опровергает неверную догадку, будто достаточно выполнить хотя бы одно неравенство. Но никакой конечный набор пробных точек не заменяет доказательство для всех действительных x.

Сформулируйте правило самостоятельно

Ответьте письменно на четыре вопроса: (а) что происходит с <, >, ≤, ≥, если обе части делят на одно отрицательное число? (б) почему систему изображают пересечением, а не объединением лучей? (в) что сделать, если левая граница больше правой? (г) при каком сочетании двух одинаковых границ получится один ответ?

Сверка с правилом: деление на отрицательное число переворачивает знак; система требует выполнения обеих строк; несовместимые ограничения дают ∅; совпавшие нестрогие границы оставляют одну точку, а хотя бы одна строгая граница при совпадении делает пересечение пустым.

Проверьте правило на контрпримере. Кто-то написал, что x = −4 подходит нашей системе из наблюдения, потому что −3·(−4) = 12 ≥ −6. Ошибка: первая строка даёт 8 < 6, то есть ложь. Результат с «или» вместо «и» шире истинного множества.

Практическая лаборатория: десять новых систем

Решите № 1–10; рядом с каждым промежутком подпишите его тип: ограниченный, луч, пустое множество или одно число. Для № 5 и № 6 отдельно объясните, почему визуально похожие графики приводят к противоположным выводам. Ответы даны ниже в отдельной таблице для проверки.

1. № 1. Решите систему −4x ≤ 12; −2x > −8.
2. № 2. Решите систему −5x > 0; −x < 6.
3. № 3. Решите систему −3x ≥ −9; −6x ≥ −6.
4. № 4. Решите систему −7x < 14; −2x ≤ −10.
5. № 5. Решите систему −3x > 3; −3x ≤ −12.
6. № 6. Решите систему −2x ≥ 8; −8x ≤ 32.
7. № 7. Решите систему −6x < −18; −4x ≥ −20.
8. № 8. Решите систему −2x ≤ −3; −5x > −10.
9. № 9. Решите систему −9x ≥ 0; −3x < 15.
10. № 10. Решите систему −4x > 8; −3x ≤ 12.

Подсказка только к № 8: дробь 3/2 можно оставить точной, не переводя в приближённую десятичную. Если всё же используете 1,5, это то же самое число, поэтому принципиально ничего не меняется в вопросе о включении границы.

Как доказать пересечение, а не только угадать его

У каждого правильно решённого задания два направления доказательства. Сначала докажите: если x лежит в записанном ответе, то оно удовлетворяет каждому исходному неравенству. Потом докажите обратное: если x выполняет оба исходных неравенства, то оно обязательно лежит в указанном множестве. Преобразование каждой строки на эквивалентное неравенство как раз и даёт оба направления сразу.

Для № 7 первая строка превращается в x > 3, вторая — в x ≤ 5. Из принадлежности промежутку (3; 5] следуют сразу оба ограничения; их обратное применение возвращает −6x < −18 и −4x ≥ −20. Ни 3, ни числа меньше 3 не подходят, потому что первое неравенство строгое. В отличие от левой границы, x = 5 сохраняется и выполняет обе исходные строки.

Для № 6 совместимость вообще не означает наличие интервала положительной длины. Если x ≤ −4 и x ≥ −4, их общая часть равна {−4}; это не символическая запись «почти пустого» промежутка. Подстановка даёт −2·(−4) = 8 ≥ 8 и −8·(−4) = 32 ≤ 32. Любое другое число нарушит одну из строк.

В № 8 после деления 3/2 нельзя автоматически заменить на 2 «для удобства». Неравенство допускает все действительные x между 1,5 включительно и 2 не включительно. Например, x = 7/4 = 1,75 принадлежит решению, хотя это не целое число. Дополнительного требования x ∈ Z в данном материале нет.

Перенос правила на неизвестную границу

11. № 11. Система −2x ≥ −8 и −3x < C должна иметь ответ (1; 4]. Восстановите C и проверьте обе крайние точки.
12. № 12. Ученик решил −4x ≥ 12 и −2x > −10 и получил [−3; 5). Найдите неточность и назовите правильное пересечение.

В обратном задании № 11 неизвестная граница создаётся второй строкой: при делении на −3 получится x > C/(−3). Сравните полученное выражение с левой границей 1, не смешивая её с верхним пределом 4.

Проверенные ответы с короткими доказательствами

№ 11. Первая строка означает x ≤ 4. Чтобы второй луч начинался строго после 1, необходимо −3x < −3, значит C = −3. Пересечение (1; 4]. Подстановка x = 1 даёт −3 < −3 — неверно; подстановка x = 4 даёт −8 ≥ −8 и −12 < −3 — оба верны.

№ 12. После деления −4x ≥ 12 на −4 получаем x ≤ −3, а не x ≥ −3. Вторая строка даёт x < 5. Их общая часть — (−∞; −3], а не [−3; 5): числа меньше −3 тоже допустимы. Например, x = −4 проверяет обе строки.

Обратите внимание: № 3 и № 4 — это два случая, когда один луч целиком лежит внутри другого. Если обе границы направлены в одну сторону, достаточно более строгого ограничения; если они смотрят навстречу друг другу, сравнивают нижнюю и верхнюю границы. Для пустого множества не нужно подбирать «самое близкое» число.

Рекомендуемая проверка всей работы: для ограниченного непустого промежутка проверьте обе границы; для луча — его конечную границу; для единственной точки — подстановку именно её в обе строки; для ∅ — логическое противоречие x < a и x ≥ b при a ≤ b либо аналогичный разбор. Такой способ надёжнее, чем проверять случайные целые точки.