Сравнение площадей без вычисления сторон для треугольников с общим основанием — карточки с ответами, 8 класс

Метод и проверка предпосылок

Пусть треугольники ABC и ABD имеют общую сторону AB длины a > 0. Тогда S(ABC)=a·h_C/2, S(ABD)=a·h_D/2, где h_C и h_D — расстояния до прямой AB. Поэтому S(ABC)/S(ABD)=h_C/h_D. Точки могут лежать по одну или по разные стороны основания; расстояния берутся положительными.

Условие об общей стороне существенно: если основания не совпадают, сокращать их без доказательства нельзя. Не путайте высоту с наклонной стороной и с ориентированной координатой точки. Для сравнения достаточно высот, даже если обе площади неизвестны.

Уровень I — узнавание отношения (№ 1–8)

В первых восьми карточках сначала запишите отношение высот, затем ответ. Поясните, что именно сохраняется при смещении вершины вдоль параллельной прямой.

1. № 1. У треугольников ABC и ABD общее основание AB. Высоты к AB равны соответственно 5 и 8 см. Какую долю площади ABD составляет ABC?
2. № 2. Вершины C и D находятся на одной прямой, параллельной AB, по одну сторону от неё. Сравните площади ABC и ABD.
3. № 3. Точки E и F расположены по разные стороны от AB на расстояниях 7 и 7 см. Есть ли преимущество в площади у ABE перед ABF?
4. № 4. При общем основании AB высота треугольника ABM в 3 раза больше высоты ABN. Чему равно S(ABM):S(ABN)?
5. № 5. Среди треугольников ABC, ABD, ABE общим является AB, а высоты равны 4, 10 и 6 см. Расположите площади по возрастанию.
6. № 6. Два треугольника с основанием PQ имеют площади 42 и 70 см². Во сколько раз высота второго больше высоты первого?
7. № 7. У треугольников ABL и ABK высоты в отношении 2:5, площадь ABL равна 24 см². Найдите площадь ABK.
8. № 8. Вершину C сдвинули по прямой, параллельной AB, не меняя основания AB. Во сколько раз изменилась площадь?

Уровень II — восстановление площадей (№ 9–16)

Здесь нужно работать с долями, процентами и различием между положительными расстояниями и расположением вершины. Для каждой задачи записывайте одно проверяемое равенство.

9. № 9. Треугольники ABC и ABD имеют AB общим; их высоты — 9 и 15 см. Если разность площадей равна 36 см², найдите обе площади.
10. № 10. Высоты к общей стороне XY равны 6 и 11 см. Сумма площадей — 85 см². Найдите каждую площадь.
11. № 11. Площади треугольников ABC, ABD и ABE равны 18, 30 и 42 см²; основание AB одно. Найдите отношение трёх высот в наименьших целых числах.
12. № 12. Точка D лежит на прямой, проходящей через C перпендикулярно AB, причём C и D по одну сторону от AB. Расстояния до прямой AB: 4 и 12 см. На сколько процентов площадь ABD больше ABC?
13. № 13. Для треугольников ABD и ABE с общей стороной AB отношение площадей 7:3. Высота первого на 8 см больше высоты второго. Определите высоты.
14. № 14. У треугольников ABC и ABD с основанием AB площадь второго на 40% меньше первой. Найдите отношение высот h_D:h_C.
15. № 15. Вершины C и D находятся на расстояниях 8 и 13 см от AB, причём по разные стороны. Можно ли вычитать высоты со знаком, чтобы сравнить площади?
16. № 16. Известно, что треугольники ABM и ABN с общим основанием равновелики. Обязательно ли точки M и N лежат на одной прямой, параллельной AB?

Уровень III — несколько логических шагов (№ 17–24)

Сначала определите, какие площади пропорциональны названным высотам. Если дана сумма или разность, выберите общую долю; если дана площадь одного треугольника, используйте соответствующее отношение.

17. № 17. Три вершины C, D, E лежат на одной стороне от AB на расстояниях 3, 5 и 8 см. Площади ABC и ABE в сумме равны 44 см². Найдите площадь ABD.
18. № 18. Точки C и D имеют высоты к AB 9 и 4 см. Увеличили высоту C на 2 см и уменьшили высоту D на 1 см. Как изменилось отношение площадей?
19. № 19. Известно, что S(ABC)=48 см², а высота ABC к общему AB равна 12 см. Высота ABD — 7 см. Найдите S(ABD), не находя AB.
20. № 20. Высоты треугольников ABE и ABF относятся как 5:9; их площади отличаются на 32 см². Определите обе площади и проверьте результат.
21. № 21. Три треугольника с основанием AB имеют высоты h, 2h и 3h. Третья площадь на 45 см² больше первой. Найдите сумму всех трёх площадей.
22. № 22. Даны высоты 6, 9, 15 см к основанию AB. Какую долю общей суммы трёх площадей составляет средняя по высоте?
23. № 23. Расстояния от C и D до AB относятся как 4:7. После переноса вершины D параллельно AB и её отражения относительно прямой AB изменится ли отношение площадей?
24. № 24. У ABM и ABN общая сторона AB и одинаковые площади. Высота M равна 5/2 см; при этом N находится в другой полуплоскости от AB. Восстановите расстояние N до AB и поясните знак.

Как проверять многоходовые рассуждения

В № 9 можно не только вычислить две площади, но и восстановить их отношение для проверки: 54/90=3/5=9/15. Если отношение не совпало с отношением высот, значит неверно распределили разность 36 см². В № 10 проверка аналогична: 30+55=85 см², а 30/55=6/11. Здесь сумма определяет общую долю, хотя длина AB ни в одном уравнении не появляется.

В № 17 особенно важно не принять сумму двух площадей за площадь третьего треугольника. Площади с высотами 3 и 8 соответствуют сумме 11 одинаковых долей; площадь с высотой 5 будет пять таких долей. В № 21 разность между высотами 3h и h составляет 2h: данная разность площадей тоже равна двум одинаковым долям, после чего сумму всех площадей находят по шести долям. Это общий алгоритм для задач о суммах и разностях.

Контрольный чертёж можно делать схематичным, но высоты измеряются строго перпендикулярно прямой AB. Если вершина переехала за точку A или B при движении вдоль параллельной прямой, формула площади не меняется: основанием остаётся отрезок AB. Однако в доказательстве обязательно должно сохраняться одно и то же основание, а не просто похожие буквы вершин.

Ключ к уровню I

1. № 1. S(ABC):S(ABD)=5:8; искомая доля 5/8. Длина AB сокращается.
2. № 2. Равны. Расстояния от C и D до прямой AB одинаковы; положение вершины вдоль параллельной прямой ничего не меняет.
3. № 3. Нет. Площади равны: для площади берём модуль высоты, а не её знак относительно AB.
4. № 4. 3:1. Площадь пропорциональна высоте.
5. № 5. S(ABC) < S(ABE) < S(ABD), поскольку 4 < 6 < 10.
6. № 6. 5/3 раза. h₂/h₁=70/42=5/3; вычислять PQ не требуется.
7. № 7. 60 см². Площади относятся как 2:5, поэтому 24·5/2=60.
8. № 8. В 1 раз, то есть не изменилась. Высота осталась прежней.

Решения уровня II

9. № 9. Разность пропорциональных площадей — шесть долей, значит одна доля 36/6=6 см². Площади 54 и 90 см² (9·6 и 15·6).
10. № 10. 17 долей дают 85, одна доля 5. Поэтому площади 30 и 55 см².
11. № 11. 3:5:7. Высоты пропорциональны площадям; делим 18:30:42 на 6.
12. № 12. 12/4=3; прибавка (3−1)·100%=200% от площади ABC.
13. № 13. Пусть высоты 7t и 3t. Тогда 4t=8, t=2. Ответ: 14 и 6 см.
14. № 14. Вторая площадь составляет 60% первой, значит h_D:h_C=3:5.
15. № 15. Нельзя. Сравниваем положительные расстояния 8:13, значит S(ABC):S(ABD)=8:13; знак стороны роли не играет.
16. № 16. Нет. Они могут находиться на двух разных параллельных прямых по противоположным сторонам AB на одинаковом расстоянии от AB.

Разбор сложных заданий

17. № 17. Суммарно 3+8=11 долей соответствуют 44, одна доля 4. Площадь ABD=5·4=20 см².
18. № 18. Сначала 9:4, после изменения высот 11:3. Основание сохраняется.
19. № 19. По отношению высот: 48·7/12=28 см². Вычисление AB не нужно.
20. № 20. Разность 4 доли, значит доля 8. Площади 40 и 72 см²; проверка 72−40=32.
21. № 21. Разница в две доли: 45/2=22,5 см². Сумма шести долей 135 см².
22. № 22. 9/(6+9+15)=9/30=3/10 суммарной площади.
23. № 23. Нет, останется 4:7. Параллельный перенос сохраняет расстояние до AB, отражение меняет сторону, но не модуль высоты.
24. № 24. 5/2 см. Расстояние всегда неотрицательно; положение по другую сторону не даёт отрицательной площади.

Для самопроверки нарисуйте две параллельные прямые: одну через AB и вторую через вершину на заданном расстоянии. Перемещение вершины по второй прямой меняет форму боковых сторон, но не площадь. При переносе вершины с одной стороны AB на другую с сохранением расстояния вывод остаётся тем же.