Сравнение площадей без вычисления сторон для трапеции по среднему отрезку: тренажёр для 8 класса

Исходная таблица измерений

Средний отрезок трапеции m=(a+b)/2, где a и b — её параллельные основания. Площадь S=(a+b)h/2=m·h. Поэтому, если высоты одинаковы, отношение площадей равно отношению средних отрезков; если различаются и m, и h, надо сравнивать их произведения.

Четвёртый столбец служит контрольным: ученику полезно сначала закрыть его и предсказать, какие участки равновелики. Данные — учебная модель, они не описывают реальный парк.

Как построена модель без боковых сторон

Средний отрезок соединяет середины боковых сторон трапеции и параллелен основаниям. Его длина равна их полусумме. Достаточно измерить именно эту длину и перпендикулярное расстояние между прямыми оснований. Например, для Северной делянки 18·9=162 м²; для Восточной 24·9=216 м². Значит, общая высота 9 м позволяет сравнить участки только по средним отрезкам: 24/18=4/3.

Для Южной высота уже другая, поэтому ошибочно выбирать больший участок только по среднему отрезку. У неё средний отрезок 18 м, но высота 12 м; произведение 18·12=216 м², что в точности равно Восточной. Сравнение «меньший средний отрезок — обязательно меньшая площадь» верно лишь при одинаковых высотах.

Таблица сохраняет исходное состояние четырёх участков. Если в одном из вопросов делянку изменяют, не исправляйте исходную таблицу: считайте новый вариант отдельно. Это позволяет отличить относительное увеличение площади от абсолютной прибавки в квадратных метрах и не смешать два этапа проекта.

Вопросы проектировщика

Решите 14 связанных задач. В ответах с величинами обязательно указывайте м или м²; в задачах на отношения единицы сокращаются. Не ищите стороны трапеций: они не нужны.

1. № 1. На сколько процентов площадь Восточной больше Северной, не вычисляя оснований трапеций?
2. № 2. Как сравнить Южную и Восточную без поиска длин сторон?
3. № 3. Как относится площадь Северной к площади Западной?
4. № 4. Какова суммарная площадь четырёх делянок?
5. № 5. На сколько квадратных метров Восточная больше Северной?
6. № 6. Высоту Западной делянки увеличили с 6 до 9 м, не меняя основания и средний отрезок. Как изменилась площадь?
7. № 7. Планируется новая трапециевидная клумба со средним отрезком 27 м и высотой 8 м. С какой исходной делянкой она равновелика?
8. № 8. Хватит ли одной Западной делянки, чтобы разместить площадку вдвое больше Северной?
9. № 9. Какой должна стать высота Восточной при неизменном среднем отрезке 24 м, чтобы её площадь стала равной Северной?
10. № 10. Каким должен быть средний отрезок Южной при высоте 12 м, чтобы получить площадь Западной?
11. № 11. Оба основания Южной удлинили на 4 м, высоту оставили 12 м. Что произошло со средним отрезком и площадью?
12. № 12. Назовите отношение площади Западной к Восточной в несократимых целых числах.
13. № 13. У Западной уменьшили высоту с 6 до 5 м при прежних основаниях. Найдите новую площадь и долю от старой.
14. № 14. Можно ли при высоте 0 м получить обычную невырожденную трапецию с положительной площадью?

Перед открытием ключа: три проверки

Первая проверка — соразмерность: для заданий № 1, 3 и 12 результатом должно быть безразмерное отношение, а не метры. Вторая — монотонность: в № 6 и № 11 обе модификации увеличивают соответствующий множитель площади, поэтому ответ не может быть меньше исходной площади. Третья — обратное вычисление: в № 9 восстановленная высота обязана дать произведение 162 при умножении на 24; в № 10 восстановленный средний отрезок должен дать 180 при умножении на 12.

Если при увеличении обоих оснований на 4 м средний отрезок вырастает только на 2 м, это ошибка: сумма оснований увеличилась на 8 м, а её половина — на 4 м. Если же изменили только одно основание на 4 м, при прочих равных средний отрезок изменился бы на 2 м. Поэтому в задании № 11 формулировка «оба основания» принципиальна.

Решения с проверкой разумности

1. № 1. Высоты равны 9, отношение площадей 24:18=4:3. Рост составляет 33⅓%.
2. № 2. 18·12=24·9=216, поэтому площади равны, хотя и высоты, и средние отрезки различны.
3. № 3. (18·9):(30·6)=162:180=9:10.
4. № 4. 162+216+216+180=774 м². Проверяем единицы: метр·метр=м².
5. № 5. 216−162=54 м².
6. № 6. При постоянном m площадь выросла в 9/6=1,5 раза, до 30·9=270 м².
7. № 7. 27·8=216 м², столько же у Восточной и Южной.
8. № 8. Две Северные — 324 м². Западная — 180 м²: не хватит 144 м².
9. № 9. h=162/24=6,75 м. Основания не рассчитываются.
10. № 10. m=180/12=15 м.
11. № 11. Новое m=((a+4)+(b+4))/2=m+4=22 м; новая площадь 22·12=264 м².
12. № 12. 180:216=5:6.
13. № 13. 30·5=150 м²; доля 5/6.
14. № 14. Нельзя. S=m·h=0; для невырожденной трапеции высота h>0 и m>0.

Особенно полезны два обратных шага: при известной площади и m восстанавливаем h=S/m; при известной площади и h восстанавливаем m=S/h. Нельзя делить на нулевую высоту при поиске среднего отрезка обычной трапеции.

Самоконтроль: положительная высота и положительный средний отрезок дают положительную площадь. Если при том же среднем отрезке высоту увеличили в полтора раза, площадь обязана вырасти в полтора раза; если одна высота выше другой, из этого не следует большая площадь без сведений о среднем отрезке.