Сравнение площадей без вычисления сторон при масштабировании сторон — упражнения разной сложности, 8 класс

Памятка перед вариантами

Если все длины подобной фигуры умножить на одно и то же положительное число k, её площадь умножится на k². Формула верна для треугольников, квадратов, трапеций и любых плоских фигур при равномерном изменении масштаба. Поворот или зеркальное отражение не изменяет площадь.

Важно: увеличение каждого линейного размера на 20% означает k=1,2, а площадь увеличится на 44%. Если длину и ширину меняют с разными множителями, это может не быть подобием: тогда пользуются специальной формулой площади, а не k².

Вариант А — от коэффициента к площади (1–9)

1. № 1. При гомотетии все стороны треугольника увеличили вдвое. Во сколько раз стала больше площадь?
2. № 2. Квадрат уменьшили так, что каждая сторона стала третью прежней. Какую долю исходной площади занял новый квадрат?
3. № 3. Все стороны подобных фигур составляют 150% прежних. На сколько процентов изменилась площадь?
4. № 4. Размеры рисунка уменьшили до 80% по каждому линейному измерению. Какую долю площади оставили?
5. № 5. Исходная площадь треугольника 32 см². Его стороны масштабировали с коэффициентом 3/2. Чему равна новая площадь?
6. № 6. Площадь новой фигуры равна 50 см², исходной подобной — 200 см². Каков положительный коэффициент подобия от исходной к новой?
7. № 7. После равномерного увеличения площади 90 см² стало 160 см². Найдите коэффициент линейного изменения.
8. № 8. Линейный масштаб изменён на √2. Во сколько раз изменилась площадь?
9. № 9. Фигуру сначала увеличили в 2 раза, затем уменьшили все линейные размеры в 4 раза. Каков итоговый коэффициент площадей?

Сверьте полученные числа с соседом, который решал вариант Б. Для каждого изменения меньше единицы проверьте, что площадь действительно уменьшилась.

Вариант Б — обратный масштаб и ловушки (10–18)

10. № 10. Треугольник и квадрат сначала имели равную площадь. Треугольник увеличили линейно в 3 раза, квадрат — в 2 раза. Найдите отношение новых площадей.
11. № 11. После гомотетии с k=4/3 площадь фигуры стала 64 см². Чему была равна исходная?
12. № 12. У подобных фигур соответствующие стороны относятся как 5:4 (новая к старой). Найдите отношение площадей.
13. № 13. Все стороны квадрата укоротили на 20%. На сколько процентов уменьшилась площадь?
14. № 14. У прямоугольника ширину удвоили, а длину утроили. Во сколько раз возросла площадь? Можно ли назвать преобразование гомотетией?
15. № 15. Исходная площадь трапеции 48 дм². Все её линейные размеры уменьшили в 2 раза. Найдите новую площадь.
16. № 16. Площадь после увеличения составила 121% старой. Каков линейный коэффициент увеличения?
17. № 17. Линейные размеры подобных треугольников относятся как 4:7. Как относятся их площади?
18. № 18. Треугольник повернули на 90°, отразили относительно прямой, но не растягивали. Как изменилась площадь?

Взаимопроверка: ответы варианта А

1. № 1. k=2, коэффициент площадей k²=4.
2. № 2. k=1/3, площадь стала 1/9 первоначальной.
3. № 3. k=1,5; k²=2,25. Площадь выросла на 125%, а не на 50%.
4. № 4. 0,8²=0,64; потеря площади составляет 36%.
5. № 5. 32·(3/2)²=32·9/4=72 см².
6. № 6. k²=50/200=1/4, поэтому k=1/2.
7. № 7. k=√(160/90)=√(16/9)=4/3.
8. № 8. k²=(√2)²=2. Значение k положительно.
9. № 9. Совокупный k=2·(1/4)=1/2, значит новая площадь составляет 1/4 исходной.

Взаимопроверка: ответы варианта Б

10. № 10. Из равных исходных площадей получаем 9:4. Масштабы возводятся в квадрат отдельно.
11. № 11. 64 : (16/9)=36 см².
12. № 12. 25:16, поскольку (5/4)²=25/16.
13. № 13. k=0,8, k²=0,64; уменьшение 36%.
14. № 14. Площадь возросла в 6 раз; это не гомотетия, ведь множители по направлениям различны.
15. № 15. 48·(1/2)²=12 дм².
16. № 16. k=√1,21=1,1; стороны увеличены на 10%.
17. № 17. 16:49. Для двух измерений отношение равно квадрату коэффициента подобия.
18. № 18. Не изменилась. Поворот и отражение сохраняют все длины и коэффициент масштаба 1.

Особое внимание № 14: коэффициенты 2 и 3 различны, поэтому нельзя механически возводить один из них в квадрат. В № 16 изменение площади на 21% соответствует увеличению сторон на 10%, а не на 21%. При восстановлении k берём положительный корень, так как отношение длин положительно.