Сравнение площадей без вычисления сторон для фигур с одинаковой высотой — задания с разбором, 8 класс

Тезис, который необходимо исправить

Подозрительное утверждение: «Любые две фигуры одинаковой высоты имеют равные площади». Это неверно. Даже два треугольника высоты 5 см при основаниях 4 и 12 см дают площади 10 и 30 см². Значит, кроме высоты нужны данные о длине основания, среднем отрезке либо другой величине, определяющей площадь.

Суть корректного способа: при общей перпендикулярной высоте h из формулы каждой фигуры можно вынести общий положительный множитель h. Тогда сравниваем только оставшиеся коэффициенты.

Почему метод работает

Для треугольника S=(a/2)·h; для параллелограмма S=a·h; для трапеции S=m·h, где m=(a+b)/2 — её средний отрезок. При h>0 знак разности площадей равен знаку разности коэффициентов a/2, a или m соответственно. Неизвестная высота не мешает определить, какая фигура больше.

Например, треугольник с основанием 18 см равновелик параллелограмму с основанием 9 см при одной высоте. Доказательство: 18h/2=9h. И наоборот, треугольник с основанием 12 см уступает трапеции со средним отрезком 8 см, потому что 6h<8h.

Речь должна идти о высоте относительно выбранного основания, а не о произвольном отрезке внутри рисунка. В трапеции средний отрезок параллелен основаниям. Вырожденные фигуры с h=0 не входят в обычные задачи о положительной площади.

Особые случаи перед самостоятельной работой

Если основания сравниваемых треугольников равны, одинаковая высота гарантирует равновеликость. Если вершины лежат по разные стороны основания, площадь всё равно не становится отрицательной. Если фигуры разных типов, множитель 1/2 нельзя забывать: именно поэтому треугольник с основанием 14 и параллелограмм с основанием 7 при одной высоте равновелики.

При общей высоте не требуется восстановить наклонные стороны: их может быть много при тех же основаниях и высоте. Обратный ход возможен: если отношение площадей известно, можно найти неизвестный коэффициент основания.

Доказательство через коэффициент и обратные задачи

Обобщим три формулы одной записью S=c·h. Для треугольника коэффициент c=a/2, для параллелограмма c=a, для трапеции c=m. Пусть фигуры F и G имеют общую положительную высоту h. Тогда S(F)−S(G)=(c_F−c_G)h. Поэтому, если c_F>c_G, строго следует S(F)>S(G), а если c_F=c_G, площади равны. Эта формула и есть доказательство метода, без необходимости сначала находить числовое значение h.

Из того же равенства следует полезный обратный вывод: при общей высоте и известных отношениях площадей можно восстановить отношение коэффициентов c. Например, если площадь треугольника вдвое больше площади параллелограмма, то a_треугольника/2=2a_параллелограмма, значит основание треугольника вчетверо больше основания параллелограмма. Недостаточно механически переносить отношение площадей на основания у фигур разных типов.

В чертеже можно ошибиться даже с общим словом «высота»: длина высоты определяется относительно определённой стороны. Если в одной фигуре взяли высоту к наклонной стороне, а в другой — к горизонтальной, их равенство ещё не позволяет применять общую формулу с выбранными основаниями. Перед сокращением h надо указать, к каким основаниям оно относится.

Двенадцать заданий с обоснованием

Для каждого пункта сформулируйте вывод «больше», «меньше», «равны» или точное отношение. Подкрепите его равенством вида S=ch, где c>0, и при необходимости укажите условие h>0.

1. № 1. При общей высоте h сравните площади двух треугольников с основаниями 7 и 11 см.
2. № 2. Высота одинакова. У параллелограмма основание 7 см, у треугольника — 14 см. Кто больше по площади?
3. № 3. Одинаковая высота; основание треугольника 12 см, средний отрезок трапеции 6 см. Сравните площади.
4. № 4. Два параллелограмма с высотой h имеют соответствующие основания 9 и 12 см. Найдите отношение площадей.
5. № 5. У треугольников одинаковые основания и одинаковые высоты, но один остроугольный, другой тупоугольный. Могут ли площади различаться?
6. № 6. У треугольников общая высота, но основания равны 6 и 18 см. Можно ли считать их площади равными?
7. № 7. У трапеции сумма оснований 16 см, у параллелограмма основание 8 см; высота общая. Найдите отношение площадей.
8. № 8. У треугольника основание 10 см, у параллелограмма основание 5 см. Общая высота h. Найдите отношение S треугольника к S параллелограмма.
9. № 9. Площадь треугольника составляет 3/4 площади параллелограмма с основанием 6 см. Высоты одинаковы. Чему равно основание треугольника?
10. № 10. У трапеции средний отрезок 8 см, у треугольника основание 20 см, высоты одинаковы. На сколько процентов площадь треугольника больше?
11. № 11. Треугольник с основанием 14 см, параллелограмм с основанием 7 см и трапеция со средним отрезком 7 см имеют одну высоту. Докажите равновеликость.
12. № 12. Два треугольника имеют основание 13 см и высоты 5 и 10 см. Доказывает ли общая длина основания, что площади равны?

Разбор и ключ доказательств

1. № 1. По формуле S=ah/2 получаем 7:11. Множители h/2 совпадают и сокращаются.
2. № 2. Равновелики. S параллелограмма =7h, S треугольника =14h/2=7h.
3. № 3. Равны: у треугольника 12h/2=6h, у трапеции m·h=6h.
4. № 4. 3:4, потому что 9h:12h=9:12.
5. № 5. Нет. Формула зависит только от основания и перпендикулярной высоты, а не от вида углов.
6. № 6. Нельзя. Площади в отношении 1:3; одного равенства высот недостаточно.
7. № 7. 1:1: трапеция 16h/2=8h, параллелограмм 8h.
8. № 8. 1:1: 10h/2=5h.
9. № 9. Пусть основание x. Тогда xh/2=(3/4)·6h, откуда x=9 см при h>0.
10. № 10. S треугольника=10h, трапеции=8h; превышение 2h/8h=1/4=25%.
11. № 11. Каждая площадь равна 7h, потому что 14h/2=7h=7·h.
12. № 12. Нет. Высоты разные, а отношение площадей 1:2. Это контрпример к смешению двух условий.

Контрольный критерий: объяснение «на рисунке фигура шире» недостаточно. Надо назвать соответствующее основание или средний отрезок и общий перпендикуляр. Если в доказательстве сокращён h, следует понимать, почему h не равна нулю для невырожденных фигур.

Задания № 5, 6 и 12 особенно хорошо проверяют логику: одинаковые высоты сами по себе не обеспечивают равные площади; и наоборот, даже разные по форме фигуры способны иметь равную площадь, если их коэффициенты при h совпадают.