Проверка соответствия графику по данным об изменении площади — рабочий лист для 8 класса

Сначала найдите неверное решение

На доске ученик подписал точку (3; 10) как соответствующую прямоугольнику шириной 5 м и высотой 3 м, а затем сделал вывод: «При любом увеличении размера на 1 м площадь изменяется одинаково». В решении сразу две проблемы: неверная ордината точки и смешение зависимости для прямоугольника с зависимостью для квадрата.

Запишите отдельно одну корректную точку и объясните, почему для площади квадрата второе утверждение неверно. Далее разберите ещё четыре ошибки. Составляйте ответ в формате «ошибка — исправление — проверка по формуле».

Пять диагностических ошибок

1. № 1. Ошибочная отметка: для прямоугольника с постоянной шириной 5 м и высотой 3 м указана точка (3; 10). Найдите ошибку.
2. № 2. На осях «высота h» и «площадь S» ученик поставил (10; 2) вместо (2; 10). Что перепутано?
3. № 3. Для квадрата со стороной 3 м школьник отметил (3; 6). Исправьте значение.
4. № 4. Ученик объяснил прямой линией закон S=t² для квадрата по точкам t=1 и t=3. Почему линия ошибочна?
5. № 5. На графике площади нарисована точка (−2; −10) для прямоугольника шириной 5 м. Объясните, почему её нельзя использовать.

Входные данные для сравнения двух графиков

Важное различие: точки прямоугольника лежат на луче прямой S=5h при h≥0; точки квадрата — на ветви параболы S=t² при t≥0. Не подписывайте площадь просто «м»: размерность произведения двух длин — м².

Серия для закрепления — № 6–15

6. № 6. Для прямоугольника с шириной 5 м отметьте точку при h=4 м.
7. № 7. Проверьте, соответствует ли графику S=5h точка (6; 30).
8. № 8. Какая точка неверна для S=5h: (1; 5) или (2; 15)?
9. № 9. Если площадь прямоугольника равна 35 м², какую абсциссу надо искать на графике?
10. № 10. Найдите увеличение площади, если высота выросла с 2 до 4 м.
11. № 11. Проверьте для квадрата со стороной t точку (4; 16).
12. № 12. Какая точка квадрата неверна: (2; 4) или (3; 8)?
13. № 13. Сравните рост площади квадрата при переходах t:1→2 и 2→3.
14. № 14. У графиков S=5h и S=t² одинаковая площадь 25 м². Какие положительные входы соответствуют этому значению?
15. № 15. Можно ли поставить точку (0; 0) для обеих формул? Что она означает?

Исправления пяти ошибок

1. № 1. Площадь равна 5·3=15 м²; правильная точка (3; 15). Ученик не умножил высоту на ширину.
2. № 2. Места координат: (2; 10) соответствует h=2 м и S=10 м². Оси менять местами нельзя.
3. № 3. S=3²=9 м²; точка (3; 9). Удвоение стороны не равно вычислению площади.
4. № 4. Между точками (1; 1) и (3; 9) квадрат имеет при t=2 площадь 4, а отрезок прямой дал бы 5. График S=t² — часть параболы при t≥0.
5. № 5. Геометрическая высота и площадь неотрицательны. В задаче физическая область h≥0; при h=−2 прямоугольник указанного вида не существует.

Эти ошибки не равнозначны: неправильное умножение и перестановка координат нарушают саму проверку точки; ошибочная интерполяция нарушает форму зависимости; отрицательная длина нарушает предметную область задачи. Каждый раз достаточно привести конкретный контрпример.

Ключ упражнений и короткие вычисления

6. № 6. S=5·4=20 м², точка (4; 20).
7. № 7. Да: 5·6=30 м².
8. № 8. (2; 15) неверна: при h=2 площадь только 10 м².
9. № 9. 5h=35 ⇒ h=7 м, значит точка (7; 35).
10. № 10. Площади 10 и 20 м²; увеличение 10 м², в 2 раза.
11. № 11. Верна: 4²=16 м².
12. № 12. (3; 8) неверна, потому что 3²=9 м².
13. № 13. 1→4: прибавка 3 м²; 4→9: прибавка 5 м². Рост неравномерный.
14. № 14. У прямоугольника h=25/5=5 м; у квадрата t=√25=5 м. Входы совпали случайно, формулы различны.
15. № 15. Да, по формулам. При нулевом размере получается нулевая площадь; это вырожденная граничная ситуация, а не полноценная фигура.

Проверяйте не только числовой результат, но и смысл осей. Например, точка (4; 20) для прямоугольника означает h=4 м и S=20 м², а не наоборот. Для квадрата точка (4; 16) получается из второго множителя t, а не из дополнительной фиксированной ширины.

Проверка усвоения

Всего 15 заданий: 5 диагностических и 10 вычислительных. Оценивание: за каждый верный вывод и формулу по 1 баллу; 13–15 — материал усвоен, 10–12 — повторить различия графиков, меньше 10 — ещё раз отработать единицы и соответствие координат. Между табличными точками форму задаёт формула, а не произвольное соединение линейкой.