Определение зоны роста и убывания по данным об изменении площади — мини-практикум с ответами, 8 класс

Вариант А — площадь растёт вместе с высотой

Прямоугольная площадка имеет постоянную ширину 4 м и переменную неотрицательную высоту t м. Рассматриваем 0≤t≤6. Формула S_A(t)=4t; график — отрезок луча прямой в первой четверти. Ученик должен назвать изменение площади, интервал монотонности и проверить обратную задачу.

1. № 1. Найдите площадь прямоугольника A при высоте t=2 м и постоянной ширине 4 м.
2. № 2. Расположите значения площади A для t=1, 3 и 5 м по возрастанию.
3. № 3. Может ли A убывать на отрезке [0;6], если высота t растёт?
4. № 4. На сколько меняется площадь A при увеличении t с 2,5 до 4 м?
5. № 5. Восстановите t, если площадь A равна 18 м².
6. № 6. Найдите площадь A при t=0 и объясните, является ли это полноценным прямоугольником.
7. № 7. Назовите наибольшую площадь A при 0≤t≤6.
8. № 8. Проверьте чужой ответ: «при переходе от t=1 к t=4 площадь выросла в 4 раза и на 12 м²».

Вариант Б — сначала спад, затем подъём

На другой площадке основание треугольной области постоянно и равно 6 м, а вершина перемещается поперёк прямой основания. Расстояние вершины до неё (то есть высота) меняется по правилу h=|t−3| м, 0≤t≤6. Площадь S_B(t)=3|t−3|. При t=3 высота нулевая, а область вырождается; её нулевая площадь — допустимое значение функции.

На графике B точки соединяются согласно формуле модуля: на [0;3] идёт прямая вниз, на [3;6] — прямая вверх. Это не тот же характер изменения, что у прямоугольника A.

9. № 9. Посчитайте площадь треугольной области B при t=1, если основание 6 м, а высота |t−3| м.
10. № 10. Как меняется площадь B на [0;3]?
11. № 11. Как меняется B на [3;6] и почему?
12. № 12. Почему по равенству S(0)=S(6)=9 м² нельзя утверждать, что площадь постоянна?
13. № 13. Найдите все значения t∈[0;6], при которых S=6 м².
14. № 14. Что означает точка (3;0) на графике площади B?
15. № 15. Найдите наибольшую площадь B на [0;6] и моменты её достижения.
16. № 16. Ученик написал S=3(t−3) для всех t≥0. Приведите контрпример и исправление.

Взаимная проверка — решения варианта А

1. № 1. S=4·2=8 м².
2. № 2. 4<12<20 м². При равных положительных ширинах площадь растёт вместе с высотой.
3. № 3. Нет. При t₂>t₁ имеем 4t₂>4t₁; следовательно, S=4t строго возрастает.
4. № 4. Δt=1,5 м; ΔS=4·1,5=6 м². Новые площади 10 и 16 м².
5. № 5. 4t=18 ⇒ t=4,5 м; подстановка: 4·4,5=18 м².
6. № 6. 0 м². При нулевой высоте фигура вырождается, но формула корректно задаёт граничное значение.
7. № 7. 24 м² при t=6, так как площадь монотонно увеличивается.
8. № 8. Оба утверждения верны: S(1)=4, S(4)=16; 16/4=4 и 16−4=12 м².

Сравните аргументы, а не соседние ординаты вне порядка t: при росте t строго увеличивается 4t. Отдельно убедитесь, что разность площадей имеет единицу м², а отношение площадей безразмерно.

Разбор неочевидных ответов — вариант Б

9. № 9. h=|1−3|=2 м; S=6·2/2=6 м².
10. № 10. S=3(3−t) при 0≤t≤3, поэтому строго убывает от 9 до 0 м².
11. № 11. S=3(t−3) при 3≤t≤6, значит строго возрастает от 0 до 9 м².
12. № 12. Внутри промежутка при t=3 площадь 0 м², поэтому она сначала падает, затем растёт.
13. № 13. 3|t−3|=6 ⇒ |t−3|=2 ⇒ t=1 или t=5. Проверка: 3·2=6.
14. № 14. Высота обращается в ноль, поэтому площадь равна 0 м²; геометрическая область вырождается при пересечении прямой основания.
15. № 15. 9 м² при t=0 и t=6. От точки минимума t=3 высота по модулю увеличивается в обе стороны.
16. № 16. При t=1 вышло −6 м² — невозможная площадь. Верно S=3|t−3| на [0;6]; при t=1 получается +6 м².

Разница между площадью и ориентированной высотой принципиальна: геометрическая высота — неотрицательное расстояние до прямой, поэтому модуль в S=3|t−3| обязателен. Два одинаковых значения S при разных t означают симметрию относительно t=3, а не постоянство на всём промежутке.

Итог двух контрастных способов

В варианте А площадь строго возрастает на всём [0;6] и достигает максимума на правом конце. В варианте Б площадь убывает на [0;3], затем возрастает на [3;6]; минимум в точке 3, а максимумы на концах 0 и 6. Получается два разных вида зависимости площади от параметра при вполне определённой геометрической модели.

Оценивание: по 1 баллу за каждую из 16 задач; если решение содержит верную площадь, но неверное объяснение знака или границ, нужно отдельно исправить рассуждение. Для чтения графика не требуется вычислять наклонные стороны треугольника.