Сравнение двух серий корней на ограниченном интервале углов — мини-практикум с ответами, 10 класс

Наблюдение: одни серии — разные результаты на отрезках

Возьмём sin x=1/2. Две серии: x=π/6+2πk и x=5π/6+2πk. На [0;π/2] остаётся только π/6; на [0;π] получаем π/6 и 5π/6. При переходе к [−π;π] этих корней по-прежнему два. Одна и та же общая формула может давать 1 или 2 корня в зависимости от отрезка. Нельзя судить о числе корней по числу формул.

Отыскать допустимые k можно без рисунка: для ряда a+2πk и границ L, R необходимо L≤a+2πk≤R, то есть (L−a)/(2π)≤k≤(R−a)/(2π). Перебирайте только целые k из этого диапазона. Вычислив значения из обеих серий, упорядочьте их, уберите повторы и проверьте крайние точки.

Формулируем правило и проверяем контрпример

Предположение: «если две серии, то на любом ограниченном отрезке обязательно ровно два корня». Контрпример: для sin x=1/2 на [0;π/2] найдётся лишь π/6. Ещё один контрпример: для cos x=−1/2 на [0;π/3] корней вообще нет. Поэтому правильная формулировка — сначала ограничить каждую серию, затем объединить найденное.

Дополнительный вопрос для обсуждения: может ли совпасть корень из двух серий? Да, например, в общем решении cos x=−1 обе формы ±π+2πk задают один ряд. В таблице задач ниже основания в каждой паре разные по модулю 2π, поэтому внутри одного полного оборота совпадения нет. Это свойство конкретного набора, а не универсальный закон.

Применение к новым данным

1. № 1. Найдите корни каждой ветви и число различных решений для sin x=1/2 на отрезке [0; π], если серии имеют вид x=π/6+2πk и x=5π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
2. № 2. Сравните вклад обеих ветвей за полный оборот для sin x=1/2 на отрезке [0; 2π], если серии имеют вид x=π/6+2πk и x=5π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
3. № 3. Исследуйте, как появление отрицательных углов меняет ответ для sin x=1/2 на отрезке [−π; π], если серии имеют вид x=π/6+2πk и x=5π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
4. № 4. Найдите корни каждой ветви и число различных решений для cos x=−1/2 на отрезке [0; π], если серии имеют вид x=2π/3+2πk и x=4π/3+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
5. № 5. Сравните вклад обеих ветвей за полный оборот для cos x=−1/2 на отрезке [0; 2π], если серии имеют вид x=2π/3+2πk и x=4π/3+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
6. № 6. Исследуйте, как появление отрицательных углов меняет ответ для cos x=−1/2 на отрезке [−π; π], если серии имеют вид x=2π/3+2πk и x=4π/3+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
7. № 7. Найдите корни каждой ветви и число различных решений для cos x=0 на отрезке [0; π], если серии имеют вид x=π/2+2πk и x=3π/2+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
8. № 8. Сравните вклад обеих ветвей за полный оборот для cos x=0 на отрезке [0; 2π], если серии имеют вид x=π/2+2πk и x=3π/2+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
9. № 9. Исследуйте, как появление отрицательных углов меняет ответ для cos x=0 на отрезке [−π; π], если серии имеют вид x=π/2+2πk и x=3π/2+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
10. № 10. Найдите корни каждой ветви и число различных решений для sin x=−1/2 на отрезке [0; π], если серии имеют вид x=7π/6+2πk и x=11π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
11. № 11. Сравните вклад обеих ветвей за полный оборот для sin x=−1/2 на отрезке [0; 2π], если серии имеют вид x=7π/6+2πk и x=11π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.
12. № 12. Исследуйте, как появление отрицательных углов меняет ответ для sin x=−1/2 на отрезке [−π; π], если серии имеют вид x=7π/6+2πk и x=11π/6+2πk. Назовите самый ранний корень и обоснуйте полноту.

Решения и подсчёт корней

1. Ответ 1. Первая серия: π/6 (1), вторая: 5π/6 (1). Всего 2: π/6, 5π/6. Самый ранний корень: π/6. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
2. Ответ 2. Первая серия: π/6 (1), вторая: 5π/6 (1). Всего 2: π/6, 5π/6. Самый ранний корень: π/6. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
3. Ответ 3. Первая серия: π/6 (1), вторая: 5π/6 (1). Всего 2: π/6, 5π/6. Самый ранний корень: π/6. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
4. Ответ 4. Первая серия: 2π/3 (1), вторая: нет корней (0). Всего 1: 2π/3. Самый ранний корень: 2π/3. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
5. Ответ 5. Первая серия: 2π/3 (1), вторая: 4π/3 (1). Всего 2: 2π/3, 4π/3. Самый ранний корень: 2π/3. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
6. Ответ 6. Первая серия: 2π/3 (1), вторая: −2π/3 (1). Всего 2: −2π/3, 2π/3. Самый ранний корень: −2π/3. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
7. Ответ 7. Первая серия: π/2 (1), вторая: нет корней (0). Всего 1: π/2. Самый ранний корень: π/2. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
8. Ответ 8. Первая серия: π/2 (1), вторая: 3π/2 (1). Всего 2: π/2, 3π/2. Самый ранний корень: π/2. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
9. Ответ 9. Первая серия: π/2 (1), вторая: −π/2 (1). Всего 2: −π/2, π/2. Самый ранний корень: −π/2. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
10. Ответ 10. Первая серия: нет корней (0), вторая: нет корней (0). Всего 0: нет корней. Самый ранний корень: не существует на данном отрезке. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
11. Ответ 11. Первая серия: 7π/6 (1), вторая: 11π/6 (1). Всего 2: 7π/6, 11π/6. Самый ранний корень: 7π/6. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.
12. Ответ 12. Первая серия: −5π/6 (1), вторая: −π/6 (1). Всего 2: −5π/6, −π/6. Самый ранний корень: −5π/6. Если корень отсутствует в одном ряду, это ещё не означает отсутствие всех решений.

Мини-вывод исследования

Точность сравнения определяется тремя решениями: правильно ли найдены серии, правильно ли ограничен целочисленный параметр k, не возникло ли пропущенного или повторно посчитанного корня. Симметрия sin и cos объясняет происхождение пар, но сама по себе не выбирает корни внутри заданного отрезка.

Для проверки каждого пункта используйте отдельную строку: «первая серия — …, вторая серия — …, объединение — …». Если требуется только самое раннее значение, всё равно проверьте вторую серию: её первый допустимый угол может оказаться меньше первого угла исходной серии. По 2 балла за каждую задачу (ограничение серий и окончательное сравнение), максимум 24.