Поиск потерь решений для косинуса с отрицательным значением — карточки с ответами, 10 класс

Начнём с неправильных решений

В № 1–5 уже приведены неверные рассуждения. Не просто напишите правильный ответ: обнаружьте, на каком шаге потерялась серия, был нарушен знак функции или неправильно истолкована граница. Корень проверяется подстановкой в исходное уравнение, а не похожестью рисунка.

1. № 1. В записи cos x=−1/2 на [0;2π] указан единственный ответ 2π/3. Найдите потерянный корень.
2. № 2. Для cos x=−√2/2 ученик предложил x=π/4+2πk и 7π/4+2πk. Найдите ошибку знака.
3. № 3. Для cos x=−1/2 записано x=2π/3+πk. Почему эта серия содержит посторонние корни и теряет другие?
4. № 4. Решающий добавил точки 0 и 2π к корням cos x=−1/2 на [0;2π], объяснив это закрытыми скобками.
5. № 5. На [−2π;0] для cos x=−√3/2 оставили лишь −5π/6. Найдите второй корень и проверьте.

Памятка перед исправлением

Знак ± относится к основному углу, а k — любой целый индекс. Например, отрицательный угол −3π/4 можно представить как 5π/4 после прибавления 2π. Проверяя ограниченный отрезок, не забывайте диапазон с отрицательными углами.

Самостоятельные карточки: восстановите пропущенные корни

6. № 6. Найдите все корни cos x=−1/2 на [0; 4π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
7. № 7. Найдите все корни cos x=−√2/2 на [−π; π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
8. № 8. Найдите все корни cos x=−√3/2 на [π; 3π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
9. № 9. Найдите все корни cos x=−1/2 на [−2π; 0]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
10. № 10. Найдите все корни cos x=−√2/2 на [0; 2π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
11. № 11. Найдите все корни cos x=−√3/2 на [−π; 2π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
12. № 12. Найдите все корни cos x=−1 на [0; 3π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
13. № 13. Найдите все корни cos x=−1/2 на [−π; 2π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.
14. № 14. Найдите все корни cos x=−√2/2 на [−2π; 2π]. Сначала запишите обе серии, затем покажите, какие корни теряются, если оставить только положительный основной угол.

Ключ к ошибочным решениям

1. Ответ 1. Полный ответ: 2π/3 и 4π/3. Потеряна вторая серия −2π/3+2πk; при k=1 получается 4π/3. Проверка: cos(4π/3)=−1/2.
2. Ответ 2. Обе предложенные ветви дают +√2/2. Правильные корни x=3π/4+2πk и x=5π/4+2πk. Они лежат во II и III четвертях, где косинус отрицателен.
3. Ответ 3. При k=1 получается 5π/3, где cos x=+1/2, то есть посторонний угол. Правильны две серии ±2π/3+2πk, и, например, 4π/3 присутствует только во второй.
4. Ответ 4. Закрытые границы означают допуск только корней, удовлетворяющих уравнению. cos0=cos2π=1≠−1/2; ответ 2π/3 и 4π/3.
5. Ответ 5. Второй корень −7π/6. Действительно, cos(−7π/6)=−√3/2. Полный ответ −7π/6 и −5π/6; обе серии должны быть учтены.

Ответы к самостоятельным карточкам

6. Ответ 6. Серия +2π/3: 2π/3, 8π/3; серия −2π/3: 4π/3, 10π/3. Все допустимые корни: 2π/3, 4π/3, 8π/3, 10π/3. При сохранении лишь первой серии теряются: 4π/3, 10π/3. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
7. Ответ 7. Серия +3π/4: 3π/4; серия −3π/4: −3π/4. Все допустимые корни: −3π/4, 3π/4. При сохранении лишь первой серии теряются: −3π/4. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
8. Ответ 8. Серия +5π/6: 17π/6; серия −5π/6: 7π/6. Все допустимые корни: 7π/6, 17π/6. При сохранении лишь первой серии теряются: 7π/6. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
9. Ответ 9. Серия +2π/3: −4π/3; серия −2π/3: −2π/3. Все допустимые корни: −4π/3, −2π/3. При сохранении лишь первой серии теряются: −2π/3. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
10. Ответ 10. Серия +3π/4: 3π/4; серия −3π/4: 5π/4. Все допустимые корни: 3π/4, 5π/4. При сохранении лишь первой серии теряются: 5π/4. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
11. Ответ 11. Серия +5π/6: 5π/6; серия −5π/6: −5π/6, 7π/6. Все допустимые корни: −5π/6, 5π/6, 7π/6. При сохранении лишь первой серии теряются: −5π/6, 7π/6. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
12. Ответ 12. Серия +π: π, 3π; серия −π: π, 3π. Все допустимые корни: π, 3π. При сохранении лишь первой серии теряются: нет корней. Для cos x=−1 серии совпадают, и реальной потери нет.
13. Ответ 13. Серия +2π/3: 2π/3; серия −2π/3: −2π/3, 4π/3. Все допустимые корни: −2π/3, 2π/3, 4π/3. При сохранении лишь первой серии теряются: −2π/3, 4π/3. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.
14. Ответ 14. Серия +3π/4: −5π/4, 3π/4; серия −3π/4: −3π/4, 5π/4. Все допустимые корни: −5π/4, −3π/4, 3π/4, 5π/4. При сохранении лишь первой серии теряются: −3π/4, 5π/4. Каждый найденный угол даёт исходное отрицательное значение косинуса.

Контрольное правило

Для обычного cos x=c при |c|<1 всегда используйте два ряда: x=±arccos(c)+2πk. При c=−1 оба ряда совпадают. После выбора подходящих k на отрезке объедините корни без повторов. Проверка отдельного угла должна давать именно c, а не −c. Существует ещё одна частая ошибка: автоматическое включение обоих концов отрезка, хотя они не являются решениями.

Самопроверка: 1 балл за обнаруженную причину ошибки и 1 балл за полный корректный набор корней. Максимум 28 баллов. Если остались ошибки, нарисуйте единичную окружность и отметьте, что отрицательный косинус соответствует левой её половине, а два различных угла обычно симметричны относительно оси косинуса.