Поиск линейной зависимости для диагоналей куба — самостоятельная работа, 10 класс

Таблица векторов

Считываем таблицу и проверяем комбинации

1. Проверьте, можно ли представить u как число, умноженное на v. Сделайте вывод для пары.
2. Сравните направления u и −u. Зависимы ли соответствующие ориентированные диагонали?
3. Найдите координаты суммы u+t.
4. Найдите v+w и сравните с результатом предыдущего пункта.
5. Запишите нетривиальную линейную комбинацию u,v,w,t, равную нулю.

Доказательные задачи и поиск противоречий

6. Докажите, что набор u,v,w независим, вычислив определитель из их координат.
7. Проверьте утверждение: «любые три пространственные диагонали куба линейно зависимы, потому что проходят через центр».
8. Назовите коэффициенты для записи t через u,v,w.
9. Исследуйте тройку v,w,t: существует ли нетривиальная комбинация, равная нулю?
10. Может ли сумма u+v быть вектором, параллельным ребру куба? Вычислите её.
11. Выясните, равны ли векторы u+t и 2u.
12. Восстановите пропущенный коэффициент: u+t = k(v+w).
13. Перейдите к кубу с ребром 5 и проверьте равенство U+T=V+W для векторов диагоналей.
14. Верно ли, что четыре вектора диагоналей составляют базис трёхмерного пространства? Объясните.
15. Найдите числа α,β,γ из u=αv+βw+γt, используя координаты.
16. Придумайте ошибочное «доказательство» независимости четырёх диагоналей по их различным направлениям и исправьте его.

Ключ с объяснениями

1. Нет: из первой координаты множитель был бы 1, из третьей −1. Пара независима.
2. Да: u+(−u)=0 — ненулевая зависимая пара, направления противоположные.
3. u+t=(2;0;0).
4. v+w=(2;0;0); суммы совпадают.
5. u−v−w+t=0; коэффициенты 1, −1, −1, 1 не все нулевые.
6. Определитель матрицы со строками u,v,w равен −4 (по столбцам тот же результат), поэтому они независимы.
7. Неверно. Диагонали пересекаются в центре, но это свойство прямых, а не условие зависимости их векторов. Например, u,v,w независимы.
8. t=v+w−u.
9. Нетривиальной комбинации нет: соответствующий определитель ненулевой (4 с выбранным порядком строк).
10. u+v=(2;2;0): это направление диагонали грани, не ребра; ответ «нет».
11. Нет: u+t=(2;0;0), тогда как 2u=(2;2;2).
12. k=1; обе суммы равны (2;0;0).
13. U=(5;5;5), T=(5;−5;−5), V=(5;5;−5), W=(5;−5;5). Обе суммы — (10;0;0).
14. Нет. В трёхмерном пространстве четыре вектора заведомо зависимы; базис содержит три независимых вектора.
15. u=v+w−t, то есть α=1, β=1, γ=−1. Подстановка даёт (1;1;1).
16. Ошибка: «разные направления ⇒ независимость всего набора». Это верно только как критерий для двух ненулевых векторов; здесь есть связь u+t=v+w.

Как обосновать решение, а не угадать его по рисунку

В задачах на диагонали куба легко попасть в ловушку: все четыре пространственные диагонали имеют одну общую точку — центр куба. Однако наличие точки пересечения ничего не говорит о линейной зависимости трёх или четырёх векторов. Линейные операции производятся с направленными отрезками как со свободными векторами. Перенос вектора параллельно самому себе сохраняет его координаты и не меняет проверяемое равенство.

Способ 1 — решение через координаты. Пусть требуется доказать связь между четырьмя диагоналями. Сложите координаты u и t по отдельности: первая координата 1+1=2, вторая 1−1=0, третья 1−1=0. Аналогично v+w=(2;0;0). Следовательно, u+t−v−w=(0;0;0). Коэффициенты 1, 1, −1, −1 не равны нулю одновременно. Это уже полное доказательство зависимости четвёрки.

Способ 2 — проверка независимости тройки. Для u, v, w составьте систему αu+βv+γw=0. Координаты дают уравнения α+β+γ=0, α+β−γ=0, α−β+γ=0. Из первых двух уравнений следует γ=0. Из первого и третьего затем получаем β=0 и α=0. Система имеет только нулевое решение, значит тройка независима. Этот способ полезен, даже если определители вы ещё не изучали.

Способ 3 — сравнение размерностей. Пространство имеет три независимые координаты, поэтому четыре вектора не могут быть независимыми. Но сама теорема о размерности лишь подтверждает наличие какой-то связи, а не заменяет поиск конкретных коэффициентов. Именно поэтому в самостоятельной работе есть и вопросы с доказательством, и вопросы на восстановление чисел.

Разбор трёх характерных затруднений

Смешение прямых и векторов

Фраза «диагонали пересекаются — значит зависимы» неверна: две пересекающиеся непараллельные прямые задают независимые направляющие векторы. При переходе от прямых к векторам существенно направление, а не положение точки начала. В кубе любые две разные пространственные диагонали имеют непараллельные направления, поэтому образуют независимую пару.

Неправильный вывод из одинаковой длины

Все пространственные диагонали куба имеют длину a√3. Но одинаковая длина не означает равенства векторов и не делает их кратными. Например, u=(1;1;1) и v=(1;1;−1) имеют одинаковую длину √3, хотя никакое число k не даёт u=kv. Третьи координаты требовали бы k=−1, а первые — k=1.

Ошибочная проверка комбинации

При поиске коэффициентов необходимо сверять сразу все три координаты. Совпадение только первой координаты не доказывает равенство векторов. Для самопроверки замените каждую букву числовой тройкой и отдельно запишите суммы x-, y- и z-компонент. Если все три нулевые, равенство подтверждено; если хотя бы одна отлична от нуля — решение неверно.

Критерии оценивания

Удобный учебный подход: за вычислительные задания требовать показанную сумму координат, а за утверждения о зависимости — указание ненулевых коэффициентов либо доказательство отсутствия такой комбинации. В пунктах с определителями засчитывается любой правильный метод: вычисление определителя, решение однородной системы или явное представление одного вектора через другие. Только фраза «видно на рисунке» без обоснования не считается доказательством.