Сравнение длин пространственных векторов по двум вершинам параллелепипеда — упражнения разной сложности, 10 класс

Разобранный пример с обратной проверкой

Например, при a=3, b=4, c=12 длина |AC₁| равна 13. Проверка «в обратную сторону» означает возвести 13 в квадрат и получить 3²+4²+12²=169. Для ребра или диагонали грани действуют те же принципы, но в квадрате длины участвуют только те координатные приращения, которые не равны нулю.

Карточки сравнения: одна деталь меняет решение

1. При (a,b,c)=(3,4,12) сравните |AB| и |AD|.
2. Для тех же рёбер сравните |AC| и |AA₁|.
3. Для тех же рёбер сравните |AC₁| и |BD₁|.
4. При (6,8,10) сравните диагональ грани ABCD и ребро AA₁.
5. При (2,5,7) сравните |AB₁| и |AD₁|.
6. При (4,4,9) сравните |BC₁| и |DC₁|.

Восстановите недостающее ребро

7. Известны |AB|=5 и |AC|=13. Восстановите |AD| и сравните с |AB|.
8. При (8,15,17) восстановите длину |AC₁| и проверьте её по квадратам.
9. Если |AC|=10 и a=6, вычислите b.
10. Если |AB₁|=13, a=5, определите c.
11. При (7,9,11) сравните |AD₁| и |BC₁|.
12. При (7,9,11) сравните |AB₁| и |DC₁|.

Тест на разумность и ошибки

13. Верно ли для любого прямоугольного параллелепипеда |AC₁|>|AC|?
14. При (5,12,13) найдите две одинаковые длины из |AC|, |AA₁| и |AB₁|.
15. Рассуждение ученика: |AC₁|=a+b+c. Найдите ошибку при (3,4,12).
16. Можно ли по одной паре противоположных вершин восстановить все длины рёбер наклонного параллелепипеда?

Проверенные ответы и короткие решения

1. 3<4, значит |AB|<|AD|; квадраты 9 и 16.
2. |AC|=√(3²+4²)=5, а |AA₁|=12, поэтому 5<12.
3. Обе — пространственные диагонали с квадратом длины 9+16+144=169; длины 13.
4. |AC|=√(36+64)=10=|AA₁|.
5. Квадраты 2²+7²=53 и 5²+7²=74; |AB₁|<|AD₁|.
6. |BC₁|²=b²+c²=97, |DC₁|²=a²+c²=97: равны.
7. b=√(13²−5²)=12; следовательно 12>5.
8. |AC₁|=√(64+225+289)=√578=17√2; квадрат обеих сторон 578.
9. b²=100−36=64, b=8, потому что длина положительна.
10. c²=169−25=144, c=12.
11. Обе длины равны √(9²+11²)=√202.
12. Обе равны √(7²+11²)=√170.
13. Да: |AC₁|²=|AC|²+c², и c²>0.
14. |AC|=13=|AA₁|; |AB₁|=√194>13.
15. Нельзя складывать длины перпендикулярных отрезков: |AC₁|=√169=13, не 19.
16. Нет. Даже длина и направление одной диагонали не задают три ребра и углы между ними; нужны дополнительные данные.

Подробный разбор восстановления длин по двум вершинам

Сравнивать векторы, соединяющие две вершины прямоугольного параллелепипеда, удобнее после записи разностей координат. Например, у вектора AC₁ начало A=(0;0;0), конец C₁=(a;b;c), поэтому его координаты (a;b;c). Вектор BD₁ соединяет B=(a;0;0) с D₁=(0;b;c); его координаты (−a;b;c). Квадраты длин равны: a²+b²+c². Следовательно, пространственные диагонали одинаковой длины, хотя сами векторы могут различаться и по направлению, и по координатам.

Если конечные вершины отличаются лишь двумя координатами, то третье приращение равно нулю. Например, A и B₁ имеют разность (a;0;c), поэтому |AB₁|²=a²+c². При вычислении длины нельзя добавлять b² только потому, что у параллелепипеда есть соответствующее ребро: оно не участвует в выбранном перемещении. Это одна из самых частых ошибок при работе с пространственной моделью.

Восстановление ребра. Если заданы диагональ грани AC длины 13 и ребро AB длины 5, то уравнение 5²+b²=13² даёт b²=144. Из двух алгебраических корней ±12 для длины выбираем положительное число 12. Это не произвольное отбрасывание корня: геометрическая величина длина по определению неотрицательна, а ребро невырожденного параллелепипеда строго положительно.

Восстановление высоты. Если |AB₁|=13 при a=5, то AB₁ — диагональ вертикальной грани, и c²=13²−5²=144. Проверка обратным действием: √(5²+12²)=13. Обязательно сверяйте, на той ли грани лежит рассматриваемый вектор. В некоторых задачах одна и та же буква с индексом 1 указывает не на вершину основания, а на верхнюю вершину.

Обратная проверка: четыре шага

1. Выпишите начальную и конечную точки вектора, вычтите координаты.
2. Запишите квадрат длины. Отрицательные координатные приращения при возведении в квадрат дают положительные слагаемые.
3. Если требуется лишь сравнение, сравните квадраты длин. При положительных величинах знак сравнения сохранится после извлечения корня.
4. Если найдено неизвестное ребро, подставьте его обратно в геометрическую формулу и убедитесь, что получилась исходная диагональ. Отрицательный или нулевой результат для ребра означает, что задачу нужно перепроверить.

Например, при a=2, b=5, c=7 получаются |AB₁|²=53 и |AD₁|²=74. Не требуется вычислять десятичные приближения √53 и √74. Обе длины положительны, и 53<74 уже доказывает нужный порядок. Если вместо этого сравнивать выражения 2+7 и 5+7, случайно можно получить верный знак, но неправильный способ и неправильные значения длин.

Разбор частых ошибок в самостоятельных заданиях

Ошибка 1: «все диагонали параллелепипеда равны». Все четыре пространственные диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, однако диагонали трёх типов граней вообще говоря имеют разные длины √(a²+b²), √(a²+c²), √(b²+c²). Их равенство зависит от числовых значений рёбер.

Ошибка 2: «длина вектора зависит от направления обхода». Векторы AB₁ и B₁A противоположны, но их длины одинаковы: знаки всех координатных разностей меняются, квадраты остаются прежними. Отдельно различайте направление и модуль вектора.

Ошибка 3: «формула диагонали работает для любого параллелепипеда». Приведённая здесь сумма квадратов справедлива для прямоугольного параллелепипеда с взаимно перпендикулярными рёбрами. У наклонного параллелепипеда при вычислении диагоналей появляются скалярные произведения рёбер, то есть данные об углах между ними. При отсутствии углов однозначный числовой ответ может быть невозможен.

Ошибка 4: «можно сравнить два корня по сумме координат». Сравниваются суммы квадратов, а не суммы модулей координат. Например, векторы (3;4;0) и (0;0;6) имеют суммы модулей 7 и 6, но длины 5 и 6. Это показывает, почему подмена евклидовой длины суммой координат опасна.

Рекомендации по проверке ответов

В заданиях 1–6 оцените выбор нужного типа вектора: ребро, диагональ грани или пространственная диагональ. В заданиях 7–12 важнее всего правильно восстановить недостающую длину по теореме Пифагора и не взять отрицательное значение. В последних заданиях требуется объяснение, почему метод работает или не работает. Разрешите ученику оставить ответ в виде точного квадратного корня: округление здесь не нужно и часто снижает точность сравнения.

Проверка на геометрическую осмысленность

Прежде чем принимать числовой ответ, соотнесите его с размерами тела. Пространственная диагональ должна быть строго больше каждого ребра и каждой диагонали грани невырожденного прямоугольного параллелепипеда. Если вычисленное значение меньше одного из рёбер, это сигнал, что в сумму квадратов забыли включить одну из ненулевых координат. Нельзя и автоматически считать диагональ грани больше самого длинного ребра всего тела: грань может быть расположена поперёк более длинного ребра. Оценка результата по геометрическому смыслу не заменяет вычисление, но помогает заметить несогласованность данных.